Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2025, Centres étrangers : exercice 1

12 juin 2025 · jour 1 · 6 points

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui- même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être

soit « total » : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client
soit « partiel » : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Lorsqu'un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans 30 % des cas.

Lorsqu'un contrôle partiel est effectué, dans $85\,\%$ des cas, il n'y a pas d'erreur.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.

On considère les évènements suivants:

$T$ : « Le contrôle est un contrôle total »
$E$ : « Une erreur est détectée lors du contrôle ».

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $T$ et $E$ .

Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P\left(\overline{T} \cap E\right)$ .
Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle.
Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche $15$ contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p = 0,165$ . La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.
Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.
On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99\,\%$ .

Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché $20$ contrôles. On note $X_1,\, X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1,\, X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20\;;\;0,165)$ .

Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$ .
On définit la variable aléatoire $S$ par $S = X_1 + X_2 + X_3$ .

Justifier que $E(S) = 9,9$ et que $V(S) = 8,2665$ .

Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$ .

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

Un contrôle déclenché est total une fois sur dix : $P(T)=0{,}1$ , donc $P(\overline{T})=1-0{,}1=0{,}9$ .
Lors d'un contrôle total, une erreur est détectée dans $30\,\%$ des cas : $P_T(E)=0{,}3$ , donc $P_T(\overline{E})=0{,}7$ .
Lors d'un contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur dans $85\,\%$ des cas : $P_{\overline{T}}(\overline{E})=0{,}85$ , donc $P_{\overline{T}}(E)=1-0{,}85=0{,}15$ .

L'arbre pondéré est donc :

branches issues de la racine : vers $T$ avec $0{,}1$ , vers $\overline{T}$ avec $0{,}9$
branches issues de $T$ : vers $E$ avec $0{,}3$ , vers $\overline{E}$ avec $0{,}7$
branches issues de $\overline{T}$ : vers $E$ avec $0{,}15$ , vers $\overline{E}$ avec $0{,}85$ .

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

P\left(\overline{T}\cap E\right)=P(\overline{T})\times P_{\overline{T}}(E)=0{,}9\times 0{,}15=0{,}135.

Donc la probabilité que le contrôle soit partiel et détecte une erreur est $0{,}135$ .

Réponse : $P\left(\overline{T}\cap E\right)=0{,}135$ .

Question 2.

Les évènements $T$ et $\overline{T}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(E)=P(T\cap E)+P(\overline{T}\cap E).

On a $P(T\cap E)=P(T)\times P_T(E)=0{,}1\times 0{,}3=0{,}03$ .

Donc

P(E)=0{,}03+0{,}135=0{,}165.

Donc la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle est $0{,}165$ .

Réponse : $P(E)=0{,}165$ .

Question 3.

On cherche $P_E(T)$ .

Comme $P(E)=0{,}165\neq 0$ ,

P_E(T)=\dfrac{P(E\cap T)}{P(E)}=\dfrac{0{,}03}{0{,}165}=\dfrac{30}{165}=\dfrac{2}{11}.

On a $\dfrac{2}{11}\approx 0{,}1818$ , soit $0{,}18$ au centième.

Donc, sachant qu'une erreur a été détectée, la probabilité que le contrôle ait été total est environ $0{,}18$ .

Réponse : $P_E(T)=\dfrac{2}{11}\approx 0{,}18$ .

Partie B

Question 1.

On répète $15$ fois la même épreuve : un contrôle, dont le résultat est « erreur détectée » (succès) avec la probabilité $p=0{,}165$ , ou « pas d'erreur ».

Ces $15$ épreuves de Bernoulli sont identiques, et la détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

La variable $X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}165$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(15\,;0{,}165)$ .

Question 2.

D'après la formule de la loi binomiale,

P(X=5)=\binom{15}{5}\times 0{,}165^{5}\times(1-0{,}165)^{10}=3003\times 0{,}165^{5}\times 0{,}835^{10}.

À la calculatrice, $P(X=5)\approx 0{,}0605$ , soit $0{,}06$ au centième.

Donc la probabilité qu'exactement $5$ erreurs soient détectées dans la journée est environ $0{,}06$ .

Réponse : $P(X=5)\approx 0{,}06$ .

Question 3.

L'évènement contraire de « au moins une erreur est détectée » est $\{X=0\}$ .

Donc

P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\binom{15}{0}\times 0{,}165^{0}\times 0{,}835^{15}=1-0{,}835^{15}.

À la calculatrice, $1-0{,}835^{15}\approx 0{,}9331$ , soit $0{,}93$ au centième.

Donc la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée est environ $0{,}93$ .

Réponse : $P(X\geqslant 1)=1-0{,}835^{15}\approx 0{,}93$ .

Question 4.

Si la caisse déclenche $n$ contrôles par jour, le nombre d'erreurs détectées suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}165)$ , avec les mêmes justifications qu'à la question 1.

La probabilité d'au moins une erreur est alors $1-0{,}835^{n}$ .

On cherche $n$ tel que

1-0{,}835^{n}>0{,}99\iff 0{,}835^{n}<0{,}01.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}835^{n}<0{,}01\iff n\ln(0{,}835)<\ln(0{,}01).

Comme $0<0{,}835<1$ , on a $\ln(0{,}835)<0$ .

En divisant par $\ln(0{,}835)$ , le sens de l'inégalité change :

n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}835)}\approx 25{,}5.

Le plus petit entier convenable est donc $26$ .

Vérification à la calculatrice :

pour $n=25$ : $1-0{,}835^{25}\approx 0{,}9890<0{,}99$
pour $n=26$ : $1-0{,}835^{26}\approx 0{,}9908>0{,}99$ .

Donc la caisse doit déclencher au moins $26$ contrôles par jour.

Réponse : $n\geqslant 26$ .

Partie C

Question 1.

$X_1$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;0{,}165)$ .

On utilise $E(X_1)=np$ et $V(X_1)=np(1-p)$ :

E(X_1)=20\times 0{,}165=3{,}3,

V(X_1)=20\times 0{,}165\times 0{,}835=2{,}7555.

Réponse : $E(X_1)=3{,}3$ et $V(X_1)=2{,}7555$ .

Question 2.

Les trois variables suivent la même loi, donc ont la même espérance $3{,}3$ et la même variance $2{,}7555$ .

Par linéarité de l'espérance,

E(S)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=3\times 3{,}3=9{,}9.

Les variables $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances :

V(S)=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)=3\times 2{,}7555=8{,}2665.

Pour la suite, on utilise $10$ comme valeur de $E(S)$ .

L'évènement « le nombre total d'erreurs est strictement compris entre $6$ et $14$ » s'écrit $6<S<14$ , soit $-4<S-10<4$ , c'est-à-dire $|S-10|<4$ .

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à la variable aléatoire $S$ , d'espérance $E(S)$ et de variance $V(S)$ : pour tout réel $\delta>0$ ,

P\left(|S-E(S)|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(S)}{\delta^2}.

Avec $\delta=4$ et $E(S)$ pris égal à $10$ :

P\left(|S-10|\geqslant 4\right)\leqslant\dfrac{8{,}2665}{16}\approx 0{,}5167.

L'évènement $\{|S-10|<4\}$ est le contraire de $\{|S-10|\geqslant 4\}$ , donc

P\left(6<S<14\right)=1-P\left(|S-10|\geqslant 4\right)\geqslant 1-0{,}5167=0{,}4833.

Comme $0{,}4833>0{,}48$ , on a bien $P\left(6<S<14\right)>0{,}48$ .

Donc la probabilité que le nombre total d'erreurs de la journée soit strictement compris entre $6$ et $14$ est supérieure à $0{,}48$ .

Points clés attendus

Traduire les pourcentages en probabilités conditionnelles et construire l'arbre   citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{T\,;\overline{T}\}$ .
Pour la loi binomiale, justifier le schéma de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes) et donner les paramètres $n$ et $p$ .
Passer par l'évènement contraire pour « au moins une erreur », puis résoudre l'inéquation avec $\ln$ en tenant compte du signe de $\ln(0{,}835)$ .
Espérance et variance de $S$ : linéarité, et additivité de la variance grâce à l'indépendance.
Bienaymé-Tchebychev : traduire « strictement compris entre $6$ et $14$ » en $|S-10|<4$ , puis passer à l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 2 · 4 points · Orthogonalité et distances dans l'espace · Vecteurs, droites et plans de l'espace
Exercice 3 · 6 points · Suites · Dérivation et convexité · Continuité et TVI
Exercice 4 · 4 points · Primitives et équations différentielles

Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Centres étrangers, 12 juin 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte