Bac 2025, Asie : exercice 4

Question 1. a) La fonction $x\mapsto\sqrt x$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, de dérivée $x\mapsto\dfrac1{2\sqrt x}$, et la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Par dérivation d'une composée, la fonction $g=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=\sqrt x$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $g'=u'\,\mathrm{e}^{u}$. Donc, pour tout $x>0$,

Donc $g'(x)=f(x)$ pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$.

Question 1. b) La fonction $f$ est un quotient $\dfrac{U}{V}$ avec $U(x)=\mathrm{e}^{\sqrt x}$ et $V(x)=2\sqrt x$. Ces fonctions sont dérivables sur $]0\,;+\infty[$ et $V$ ne s'annule pas sur cet intervalle. Donc $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f'=\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$.

On a $U'=g'=f$ d'après la question précédente, donc $U'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt x}}{2\sqrt x}$. On a aussi $V'(x)=2\times\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac1{\sqrt x}$ et $V(x)^2=4x$.

Pour tout $x>0$,

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt x}\left(\sqrt x-1\right)}{4x\sqrt x}$.

Question 2. a) Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\sqrt x$ tend vers $0$, donc $\mathrm{e}^{\sqrt x}$ tend vers $\mathrm{e}^{0}=1$ (limite d'une composée), et $2\sqrt x$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives.

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $0^{+}$, donc le quotient tend vers $+\infty$ :

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty$.

Question 2. b) Comme $\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées.

Question 3. a) On pose $X=\sqrt x$. Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$. Pour $x>0$,

Par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}=+\infty$. Par limite d'une composée, puis par produit par le réel strictement positif $\dfrac12$,

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 3. b) D'après la question 1. b), pour tout $x>0$,

Pour $x>0$, on a $\mathrm{e}^{\sqrt x}>0$ et $4x\sqrt x>0$. Donc $f'(x)$ est du signe de $\sqrt x-1$.

La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et $\sqrt1=1$, on a :

• $\sqrt x-1<0$ pour $0<x<1$, donc $f'(x)<0$

• $\sqrt x-1=0$ pour $x=1$, donc $f'(1)=0$

• $\sqrt x-1>0$ pour $x>1$, donc $f'(x)>0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Valeur au minimum : $f(1)=\dfrac{\mathrm{e}^{1}}{2\times1}=\dfrac{\mathrm{e}}{2}$.

Tableau de variations : $f$ part de la limite $+\infty$ en $0$, décroît jusqu'à son minimum $f(1)=\dfrac{\mathrm{e}}{2}$ atteint en $x=1$, puis croît jusqu'à la limite $+\infty$ en $+\infty$.

Question 3. c) Sur l'intervalle $[1\,;+\infty[$ :

• $f$ est continue, car dérivable

• $f$ est strictement croissante

• $f(1)=\dfrac{\mathrm{e}}{2}\approx1{,}36<2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, donc $f$ prend des valeurs inférieures et supérieures à $2$ : le réel $2$ appartient à $\left[f(1)\,;+\infty\right[$, l'image de $[1\,;+\infty[$ par $f$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1\,;+\infty[$.

À la calculatrice, $f(4{,}6)\approx1{,}991<2$ et $f(4{,}65)\approx2{,}003>2$. Comme $f$ est strictement croissante, $4{,}6<\alpha<4{,}65$ (on a en fait $\alpha\approx4{,}64$).

Donc l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur $[1\,;+\infty[$, et $\alpha\approx4{,}6$ à $10^{-1}$ près.

Réponse : $\alpha\approx4{,}6$.

Question 4. a) D'après la question 1. a), $g'=f$ sur $]0\,;+\infty[$ : $g$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$. De plus, $f$ est continue sur $[1\,;2]\subset\,]0\,;+\infty[$. Donc

La calculatrice donne $I\approx1{,}395$.

Donc $I=\mathrm{e}^{\sqrt2}-\mathrm{e}\approx1{,}395$.

Réponse : $I=\mathrm{e}^{\sqrt2}-\mathrm{e}\approx1{,}395$.

Question 4. b) La fonction $f$ est continue et positive sur $[1\,;2]$ (car $\mathrm{e}^{\sqrt x}>0$ et $2\sqrt x>0$). Donc $I$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

Question 5. a) Pour $x>0$, on pose $X=\sqrt x$, avec $X>0$ et $x=X^{2}$. Alors

Ce trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times3=9-12=-3<0$. Il n'a donc pas de racine réelle et il est du signe de son coefficient dominant $1>0$ : il est strictement positif pour tout réel $X$.

Donc $x-3\sqrt x+3>0$ pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$.

Question 5. b) Pour tout $x>0$,

On a $\mathrm{e}^{\sqrt x}>0$, $x-3\sqrt x+3>0$ d'après la question précédente, et $8x^{2}\sqrt x>0$. Donc $f''(x)>0$ pour tout $x>0$.

Une fonction dont la dérivée seconde est strictement positive sur un intervalle est convexe sur cet intervalle. Donc $f$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$.

Points clés attendus

• Dériver correctement la composée $\mathrm{e}^{\sqrt x}$ puis le quotient, en réutilisant $g'=f$ et en simplifiant jusqu'à la forme demandée.

• Justifier les limites : composée en $0$ (quotient $\frac{1}{0^{+}}$), changement de variable $X=\sqrt x$ et croissances comparées en $+\infty$.

• Étudier le signe de $f'$ en justifiant que les autres facteurs sont strictement positifs.

• Pour l'équation $f(x)=2$ : citer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et bornes   encadrer la solution pour justifier l'arrondi.

• Reconnaître en $g$ une primitive de $f$ pour le calcul de $I$   justifier la positivité du trinôme par son discriminant puis conclure sur la convexité par le signe de $f''$.

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