Bac 2025, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1. L'énoncé indique que $95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication, donc

Il indique aussi que, parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité. C'est une probabilité conditionnelle :

Donc $P(F)=0{,}95$ et $P_F(S)=0{,}98$.

Réponse : $P(F)=0{,}95$ et $P_F(S)=0{,}98$.

Question 2. a) On construit l'arbre pondéré à partir des données disponibles.

• De la racine partent deux branches : $F$ de probabilité $P(F)=0{,}95$ et $\overline{F}$ de probabilité $P(\overline{F})=1-0{,}95=0{,}05$.

• De $F$ partent deux branches : $S$ de probabilité $P_F(S)=0{,}98$ et $\overline{S}$ de probabilité $P_F(\overline{S})=1-0{,}98=0{,}02$.

• De $\overline{F}$ partent deux branches : $S$ et $\overline{S}$, dont les probabilités $P_{\overline{F}}(S)$ et $P_{\overline{F}}(\overline{S})$ ne sont pas données directement. Elles se déduisent de la question suivante.

Question 2. b) L'énoncé donne $P(\overline{F}\cap\overline{S})=0{,}01$ : $1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On a par ailleurs

Comme $P(\overline{F})\neq0$, la définition de la probabilité conditionnelle donne

D'où

Donc $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right)=0{,}2$, et par suite $P_{\overline{F}}(S)=1-0{,}2=0{,}8$ : on peut compléter l'arbre.

Question 3. L'évènement « le jouet réussit les deux tests » est $F\cap S$.

D'après la formule des probabilités composées,

D'où

Donc la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests est $0{,}931$.

Réponse : $P(F\cap S)=0{,}931$.

Question 4. Les évènements $F$ et $\overline{F}$ sont de probabilités non nulles et forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

On a $P(F\cap S)=0{,}931$ d'après la question précédente, et

D'où

Donc $P(S)=0{,}971$, ce qui vaut $0{,}97$ arrondi au centième.

Question 5. On cherche $P_S(F)$. Comme $P(S)\neq0$,

La calculatrice donne $\dfrac{0{,}931}{0{,}971}\approx0{,}9588$.

Donc, lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, la probabilité qu'il ait réussi le test de fabrication est environ $0{,}96$ arrondie au centième.

Réponse : $P_S(F)=\dfrac{0{,}931}{0{,}971}\approx0{,}96$.

Partie B

Question 1. Par hypothèse, $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0{,}95$.

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, l'espérance est $np$ et la variance est $np(1-p)$. Donc

Réponse : $E(S_n)=0{,}95\,n$ et $V(S_n)=0{,}0475\,n$.

Question 2. a) Ici $n=150$. La variable $S_{150}$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(150\,;0{,}95)$, donc

À la calculatrice, on obtient

Interprétation : dans un lot de $150$ jouets, la probabilité que exactement $145$ jouets réussissent le test de fabrication est d'environ $0{,}109$.

Réponse : $P(S_{150}=145)\approx0{,}109$.

Question 2. b) On a $0{,}94\times150=141$. L'évènement « au moins $94\,\%$ des jouets du lot réussissent le test de fabrication » est donc $\{S_{150}\geqslant141\}$.

Comme $S_{150}$ prend des valeurs entières,

À la calculatrice, on obtient

Donc la probabilité qu'au moins $94\,\%$ des jouets du lot réussissent le test de fabrication est environ $0{,}781$.

Réponse : $P(S_{150}\geqslant141)\approx0{,}781$.

Question 3. a) On a $F_n=\dfrac{S_n}{n}$. Pour une variable aléatoire $X$ et un réel $a$, on a $E(aX)=aE(X)$ et $V(aX)=a^2V(X)$.

Avec $a=\dfrac1n$ :

De même,

Donc $E(F_n)=0{,}95$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}0475}{n}$.

Question 3. b) L'évènement $I$ est $0{,}93<F_n<0{,}97$. En retranchant $0{,}95=E(F_n)$ à chaque membre, il s'écrit

Son évènement contraire est donc $\overline{I}$ : $|F_n-E(F_n)|\geqslant0{,}02$.

La variable $F_n$ admet une espérance et une variance, et $0{,}02>0$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne

Donc

Il suffit donc que $1-\dfrac{118{,}75}{n}\geqslant0{,}96$ pour que $P(I)\geqslant0{,}96$. Or, pour $n>0$,

Comme $n$ est un entier, cette condition équivaut à $n\geqslant2969$.

Donc, pour un lot de $n=2969$ jouets (et plus généralement pour tout $n\geqslant2969$), la probabilité que la proportion de jouets ayant réussi le test de fabrication soit strictement comprise entre $93\,\%$ et $97\,\%$ est supérieure ou égale à $0{,}96$.

Réponse : $n=2969$ convient.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités ($P(F)$, $P_F(S)$, $P(\overline{F}\cap\overline{S})$) et citer la définition de la probabilité conditionnelle.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{F,\overline{F}\}$ et distinguer $P_S(F)$ de $P_F(S)$.

• Préciser les paramètres de la loi binomiale et les valeurs arrondies demandées   traduire « au moins $94\,\%$ » par $S_{150}\geqslant141$.

• Utiliser $E(aX)=aE(X)$ et $V(aX)=a^2V(X)$ pour $F_n$.

• Pour Bienaymé-Tchebychev : écrire $I$ avec une valeur absolue, passer par l'évènement contraire, puis résoudre l'inéquation en $n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.