Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 1

14 novembre 2025 · jour 2 · 6 points

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants:

$S$ : « Abel réussit son premier service »
$G$ : « Abel gagne le point ».

Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(S \cap G)$ .
Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$ .
Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

On teste successivement $20$ balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.
1. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
2. Calculer $P(X < 18)$ .
3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
4. Déterminer l'espérance de $X$ .
On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$ .

On considère la variable aléatoire

$M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}$
1. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$ .
2. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$ ,  $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \dfrac{12,75}{n}$ .
3. En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75   0,95[ avec une probabilité supérieure à $0,9$ .

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Partie A

Question 1. L'évènement $S$ est : « Abel réussit son premier service ».

L'énoncé donne les probabilités suivantes :

P(S)=0{,}7\qquad P_S(G)=0{,}8\qquad P_{\overline{S}}(G)=0{,}45.

On en déduit les probabilités complémentaires :

P(\overline{S})=1-0{,}7=0{,}3\qquad P_S(\overline{G})=1-0{,}8=0{,}2\qquad P_{\overline{S}}(\overline{G})=1-0{,}45=0{,}55.

L'arbre pondéré se construit ainsi :

deux branches issues de la racine : $S$ (poids $0{,}7$ ) et $\overline{S}$ (poids $0{,}3$ )
deux branches issues de $S$ : $G$ (poids $0{,}8$ ) et $\overline{G}$ (poids $0{,}2$ )
deux branches issues de $\overline{S}$ : $G$ (poids $0{,}45$ ) et $\overline{G}$ (poids $0{,}55$ ).

Donc l'arbre est construit, la somme des poids des branches issues d'un même nœud valant $1$ .

Question 2. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

P(S\cap G)=P(S)\times P_S(G)

P(S\cap G)=0{,}7\times 0{,}8=0{,}56.

Donc la probabilité qu'Abel réussisse son premier service et gagne le point est $0{,}56$ .

Réponse : $P(S\cap G)=0{,}56$ .

Question 3. Les évènements $S$ et $\overline{S}$ forment une partition de l'univers ( $S$ et $\overline{S}$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers, avec $P(S)\neq 0$ et $P(\overline{S})\neq 0$ ).

D'après la formule des probabilités totales :

P(G)=P(S\cap G)+P(\overline{S}\cap G).

On a $P(\overline{S}\cap G)=P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(G)=0{,}3\times 0{,}45=0{,}135$ .

Donc

\begin{aligned} P(G)&=0{,}56+0{,}135\\ &=0{,}695. \end{aligned}

Donc la probabilité qu'Abel gagne le point est bien égale à $0{,}695$ .

Question 4. On cherche la probabilité de $S$ sachant que $G$ est réalisé, avec $P(G)=0{,}695\neq 0$ .

D'après la définition de la probabilité conditionnelle :

P_G(S)=\dfrac{P(S\cap G)}{P(G)}=\dfrac{0{,}56}{0{,}695}\approx 0{,}806\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc, sachant qu'Abel a gagné le point, la probabilité qu'il ait réussi son premier service est d'environ $0{,}806$ .

Réponse : $P_G(S)=\dfrac{0{,}56}{0{,}695}\approx 0{,}806$ .

Question 5. Deux évènements $S$ et $G$ sont indépendants si et seulement si $P(S\cap G)=P(S)\times P(G)$ .

On calcule le produit :

P(S)\times P(G)=0{,}7\times 0{,}695=0{,}4865.

Or $P(S\cap G)=0{,}56$ .

Ces deux nombres sont différents : $0{,}56\neq 0{,}4865$ .

Donc les évènements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants.

Partie B

Question 1. a) On répète $20$ fois la même épreuve : on teste une balle. Cette épreuve a deux issues : « la balle est conforme » (succès), de probabilité $p=0{,}85$ , ou « la balle n'est pas conforme ».

Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}85$ .

Le tirage est assimilé à un tirage avec remise : les $20$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}85$ .

Question 1. b) L'évènement $X<18$ s'écrit $X\leqslant 17$ car $X$ prend des valeurs entières.

À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$ :

P(X<18)=P(X\leqslant 17)\approx 0{,}595\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc la probabilité que moins de $18$ balles soient conformes parmi les $20$ testées est d'environ $0{,}595$ .

Réponse : $P(X<18)\approx 0{,}595$ .

Question 1. c) Il y a au moins deux balles non conformes parmi les $20$ si et seulement si il y a au plus $18$ balles conformes, car le nombre de balles non conformes est $20-X$ et $20-X\geqslant 2$ équivaut à $X\leqslant 18$ .

À la calculatrice :

P(20-X\geqslant 2)=P(X\leqslant 18)\approx 0{,}824\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ est d'environ $0{,}824$ .

Réponse : $P(X\leqslant 18)\approx 0{,}824$ .

Question 1. d) $X$ suit une loi binomiale, donc son espérance est $E(X)=np$ .

E(X)=20\times 0{,}85=17.

Donc, en moyenne, $17$ balles sur $20$ sont conformes.

Réponse : $E(X)=17$ .

Question 2. a) Chaque variable $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$ .

Donc $E(X_i)=0{,}85$ et $V(X_i)=0{,}85\times(1-0{,}85)=0{,}85\times 0{,}15=0{,}1275$ .

Espérance. Par linéarité de l'espérance :

\begin{aligned} E(M_n)&=\dfrac1n\sum_{i=1}^n E(X_i)\\ &=\dfrac{n\times 0{,}85}{n}\\ &=0{,}85. \end{aligned}

Variance. Pour une constante $a$ , $V(aY)=a^2V(Y)$ . De plus les variables $X_i$ sont indépendantes, donc la variance de la somme est la somme des variances :

\begin{aligned} V(M_n)&=\dfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n V(X_i)\\ &=\dfrac{n\times 0{,}1275}{n^2}\\ &=\dfrac{0{,}1275}{n}. \end{aligned}

Donc $E(M_n)=0{,}85$ et $V(M_n)=\dfrac{0{,}1275}{n}$ .

Réponse : $E(M_n)=0{,}85$ et $V(M_n)=\dfrac{0{,}1275}{n}$ .

Question 2. b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour toute variable aléatoire $Y$ d'espérance $E(Y)$ et de variance $V(Y)$ , et pour tout réel $\delta>0$ :

P\left(|Y-E(Y)|\geqslant \delta\right)\leqslant \dfrac{V(Y)}{\delta^2}.

On l'applique à $Y=M_n$ , d'espérance $0{,}85$ et de variance $\dfrac{0{,}1275}{n}$ , avec $\delta=0{,}1>0$ :

P\left(|M_n-0{,}85|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant \dfrac{0{,}1275/n}{0{,}1^2}=\dfrac{0{,}1275}{0{,}01\,n}=\dfrac{12{,}75}{n}.

On a les équivalences :

0{,}75<M_n<0{,}95\iff -0{,}1<M_n-0{,}85<0{,}1\iff |M_n-0{,}85|<0{,}1.

L'évènement $0{,}75<M_n<0{,}95$ est donc l'évènement contraire de $|M_n-0{,}85|\geqslant 0{,}1$ .

Donc

P(0{,}75<M_n<0{,}95)=1-P\left(|M_n-0{,}85|\geqslant 0{,}1\right)\geqslant 1-\dfrac{12{,}75}{n}.

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $P(0{,}75<M_n<0{,}95)\geqslant 1-\dfrac{12{,}75}{n}$ .

Question 2. c) D'après la question précédente, il suffit de trouver $n$ tel que $1-\dfrac{12{,}75}{n}\geqslant 0{,}9$ .

Pour $n>0$ :

1-\dfrac{12{,}75}{n}\geqslant 0{,}9\iff \dfrac{12{,}75}{n}\leqslant 0{,}1\iff n\geqslant \dfrac{12{,}75}{0{,}1}=127{,}5.

Le plus petit entier convenable est donc $n=128$ .

Vérification : $\dfrac{12{,}75}{128}\approx 0{,}0996<0{,}1$ , donc $1-\dfrac{12{,}75}{128}\approx 0{,}9004>0{,}9$ .

Donc, pour $n=128$ :

P(0{,}75<M_{128}<0{,}95)\geqslant 1-\dfrac{12{,}75}{128}>0{,}9.

Donc pour un échantillon de $128$ balles, la moyenne du nombre de balles conformes appartient à $]0{,}75\,;0{,}95[$ avec une probabilité supérieure à $0{,}9$ (c'est vrai pour tout entier $n\geqslant 128$ ).

Réponse : $n=128$ convient.

Points clés attendus

Traduire les données de l'énoncé en probabilités (conditionnelles) et citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{S\,;\overline{S}\}$ .
Pour l'indépendance, comparer $P(S\cap G)$ et $P(S)\times P(G)$ .
Justifier la loi binomiale : répétition de $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre $0{,}85$ .
Passer de « au moins deux non conformes » à $X\leqslant 18$ .
Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et passer à l'évènement contraire à partir de $|M_n-0{,}85|<0{,}1$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

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Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Sud, 14 novembre 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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