Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 2

13 novembre 2025 · jour 1 · 5 points Vrai / Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l' autre équipe.

Affirmation 1

47 poignées de mains ont été échangées.
Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

Affirmation 2

Il y a 4896 possibilités de distribuer ces prix.
Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux.

Affirmation 3

Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.
Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous :

$x_i$ $-2$ $-1$ 2 5
$P(X = x_i)$ 0,1 0,4 0,3 0,2

On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et on considère $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

Affirmation 4

$P(Y=4) = 0,25$ .
Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0,85$ .

Il effectue, sur une journée, $20$ parcours chronométrés sur $50$ mètres. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes lors de cette journée.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,85$ .

Affirmation 5

Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est $0,434$ .

Voir le corrigé

Affirmation 1. Fausse.

Chacun des 22 joueurs de la première équipe serre la main de chacun des 25 joueurs de l'autre équipe. Par le principe multiplicatif, le nombre de poignées de mains est

22\times 25=550.

Or $550\neq 47$ (le nombre $47=22+25$ est le nombre de joueurs, non le nombre de poignées de mains).

Donc l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. Fausse.

Les trois premiers reçoivent le même prix : l'ordre dans lequel ils arrivent n'importe pas. Une distribution des prix correspond donc à une partie à 3 éléments (combinaison) de l'ensemble des 18 concurrents.

Le nombre de possibilités est

\binom{18}{3}=\dfrac{18\times 17\times 16}{3\times 2\times 1}=\dfrac{4\,896}{6}=816.

Or $816\neq 4\,896$ (le nombre $4\,896=18\times 17\times 16$ est le nombre de podiums ordonnés, c'est-à-dire d'arrangements de 3 concurrents parmi 18).

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

Un podium est ordonné. On compte les podiums dont Jacques fait partie.

Jacques peut occuper l'une des 3 places du podium : 3 choix.

Les deux autres places sont occupées, dans l'ordre, par deux des 6 autres sportifs : $6$ choix pour la première, puis $5$ pour la seconde, soit $6\times 5=30$ possibilités.

Par le principe multiplicatif, le nombre de podiums contenant Jacques est

3\times 30=90.

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Les valeurs possibles de $X_1$ et $X_2$ sont $-2$ , $-1$ , $2$ et $5$ . L'évènement $\{Y=4\}$ est réalisé pour les couples $(X_1\,;X_2)$ suivants, dont la somme vaut $4$ :

$(-1\,;5)$ , car $-1+5=4$
$(5\,;-1)$ , car $5+(-1)=4$
$(2\,;2)$ , car $2+2=4$ .

On vérifie qu'il n'y en a pas d'autres : avec $X_1=-2$ , il faudrait $X_2=6$ , valeur impossible.

Les variables $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, donc $P(X_1=a\text{ et }X_2=b)=P(X_1=a)\times P(X_2=b)$ . Ainsi

\begin{aligned} P(Y=4)&=P(X_1=-1)P(X_2=5)+P(X_1=5)P(X_2=-1)+P(X_1=2)P(X_2=2)\\ &=0{,}4\times 0{,}2+0{,}2\times 0{,}4+0{,}3\times 0{,}3\\ &=0{,}08+0{,}08+0{,}09\\ &=0{,}25. \end{aligned}

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5. Vraie.

La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$ (admis par l'énoncé).

On cherche la probabilité conditionnelle $P_{(X\geqslant 15)}(X\geqslant 18)$ . Comme $\{X\geqslant 18\}\subset\{X\geqslant 15\}$ , on a $\{X\geqslant 18\}\cap\{X\geqslant 15\}=\{X\geqslant 18\}$ , donc

P_{(X\geqslant 15)}(X\geqslant 18)=\dfrac{P(X\geqslant 18)}{P(X\geqslant 15)}.

À la calculatrice, $P(X\geqslant 18)\approx 0{,}4049$ et $P(X\geqslant 15)\approx 0{,}9327$ .

Donc

P_{(X\geqslant 15)}(X\geqslant 18)\approx\dfrac{0{,}4049}{0{,}9327}\approx 0{,}434\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc l'affirmation 5 est vraie.

Points clés attendus

Distinguer combinaison (ordre sans importance) et arrangement (podium ordonné), en citant la formule utilisée.
Utiliser le principe multiplicatif pour les poignées de mains et pour les podiums.
Pour la somme de deux variables indépendantes, lister tous les couples de somme $4$ et multiplier les probabilités.
Pour la binomiale, écrire la probabilité conditionnelle comme un quotient et préciser l'arrondi.
Justifier chaque réponse vrai ou faux : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 1 · 4 points · Suites · Succession d'épreuves et loi binomiale
Exercice 3 · 6 points · Primitives et équations différentielles · Dérivation et convexité · Sommes de variables aléatoires et concentration
Exercice 4 · 5 points · Orthogonalité et distances dans l'espace

Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 9 : Dénombrement : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Sud, 13 novembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte

$x_i$	$-2$	$-1$	2	5
$P(X = x_i)$	0,1	0,4	0,3	0,2