Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 4

Partie A

Question 1.

On lit sur le graphique que la courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-2$ et $1$.

Aux mêmes abscisses, la courbe $\mathcal{C}_1$ présente une tangente horizontale : elle admet un minimum en $x=-2$ et un maximum en $x=1$.

Si $\mathcal{C}_2$ représentait la fonction $g$ et $\mathcal{C}_1$ la fonction $g'$, alors les extrema de $\mathcal{C}_2$ correspondraient aux annulations de $\mathcal{C}_1$. Or $\mathcal{C}_2$ n'a pas d'extremum en $-2$ ni en $1$ : elle y est strictement monotone. Cette hypothèse est donc exclue.

Vérifions l'hypothèse inverse : $\mathcal{C}_1$ représente $g$ et $\mathcal{C}_2$ représente $g'$.

• Sur $]-\infty\,;-2[$, $\mathcal{C}_2$ est en dessous de l'axe des abscisses ($g'<0$) et $\mathcal{C}_1$ est décroissante.

• Sur $]-2\,;1[$, $\mathcal{C}_2$ est au-dessus de l'axe des abscisses ($g'>0$) et $\mathcal{C}_1$ est croissante.

• Sur $]1\,;+\infty[$, $\mathcal{C}_2$ est de nouveau en dessous de l'axe des abscisses ($g'<0$) et $\mathcal{C}_1$ est décroissante.

Le signe de la courbe $\mathcal{C}_2$ correspond bien aux variations de la courbe $\mathcal{C}_1$.

Donc $\mathcal{C}_1$ est la représentation graphique de $g$ et $\mathcal{C}_2$ celle de $g'$.

Question 2.

L'équation réduite de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ est

La courbe $\mathcal{C}_1$ (celle de $g$) coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;1)$, donc $g(0)=1$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ (celle de $g'$) coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;2)$, donc $g'(0)=2$.

La tangente a donc pour équation

Partie B

Question 1.

La fonction $f_0$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions dérivables. On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2+3x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, donc $u'(x)=2x+3$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ :

On calcule alors, pour tout réel $x$,

Donc $f_0$ vérifie l'équation $(E)$ : c'est une solution particulière de $(E)$.

Question 2.

L'équation $(E_0)$ : $y+y'=0$ équivaut à $y'=-y$.

Les solutions de l'équation $y'=ay$, avec $a=-1$, sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$.

Donc les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions

Question 3.

Les solutions de l'équation $(E)$ sont les sommes d'une solution particulière de $(E)$ et des solutions de l'équation homogène $(E_0)$.

D'après les questions 1 et 2, ce sont les fonctions

Question 4.

La fonction $g$ est solution de $(E)$ : il existe donc un réel $C$ tel que, pour tout réel $x$, $g(x)=\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}$.

On a alors $g(0)=C\,\mathrm{e}^{0}=C$. Or $g(0)=1$ (partie A, question 2), donc $C=1$.

Donc, pour tout réel $x$,

Vérification : $g'(x)=\left(-x^2-x+2\right)\mathrm{e}^{-x}$, donc $g'(0)=2$, ce qui est cohérent avec la partie A.

Question 5.

Soit $h$ une solution de $(E)$ : $h(x)=\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}$ avec $C\in\mathbb{R}$. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée première, avec $(uv)'=u'v+uv'$ :

Dérivée seconde, avec la même formule :

La courbe de $h$ admet un point d'inflexion en chaque abscisse où $h''$ s'annule en changeant de signe.

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, $h''(x)$ a le signe du trinôme $P(x)=x^2-x+C-4$, dont le discriminant est

• Si $\Delta>0$, le trinôme a deux racines distinctes et change de signe en chacune d'elles : la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

• Si $\Delta=0$, le trinôme a une racine double et ne change pas de signe : $h''\geqslant 0$, la courbe n'a aucun point d'inflexion.

• Si $\Delta<0$, le trinôme n'a pas de racine et garde un signe constant : la courbe n'a aucun point d'inflexion.

La condition est donc $\Delta>0$, soit $17-4C>0$, c'est-à-dire $C<\dfrac{17}{4}$.

Donc les solutions de $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion sont les fonctions $x\mapsto\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}$ avec $C<\dfrac{17}{4}$.

Partie C

Question 1.

Pour tout réel $x$, on développe :

D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier $n\geqslant 1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}=0$. Donc

De plus, $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$.

Par somme de limites,

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (admis). On utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^2+3x+2$, $u'(x)=2x+3$, $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ :

Donc, pour tout réel $x$,

Question 2. b)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que le trinôme $-x^2-x+1$.

Son discriminant est $\Delta=(-1)^2-4\times(-1)\times 1=5>0$. Il a deux racines réelles :

Le coefficient de $x^2$ est $-1<0$, donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles :

• $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;r_1[$

• $f'(x)>0$ sur $]r_1\,;r_2[$

• $f'(x)<0$ sur $]r_2\,;+\infty[$.

On en déduit les variations de $f$ :

• $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;r_1]$, de limite $+\infty$ en $-\infty$ (admis) jusqu'à la valeur $f(r_1)=(2-\sqrt5)\,\mathrm{e}^{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx-1{,}19$

• $f$ est strictement croissante sur $[r_1\,;r_2]$, de $f(r_1)\approx-1{,}19$ à $f(r_2)=(2+\sqrt5)\,\mathrm{e}^{\frac{1-\sqrt5}{2}}\approx 2{,}28$

• $f$ est strictement décroissante sur $[r_2\,;+\infty[$, de $f(r_2)\approx 2{,}28$ vers sa limite $0$ en $+\infty$.

Question 3.

Soit $x\geqslant 0$. On a $x^2\geqslant 0$ et $3x\geqslant 0$, donc $x^2+3x+2\geqslant 2>0$.

De plus, $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel $x$.

Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc $f(x)>0$ pour tout $x\geqslant 0$.

Donc la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$.

Question 4.

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;\alpha]$ (elle est dérivable sur $\mathbb{R}$) et positive sur cet intervalle d'après la question 3.

L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha$ est donc, en unités d'aire,

Comme $F$ est une primitive de $f$ (admis),

Donc

Réponse : $\mathcal{A}(\alpha)=7-\left(\alpha^2+5\alpha+7\right)\mathrm{e}^{-\alpha}$.

Points clés attendus

• Associer les courbes en reliant les annulations de la dérivée aux extrema de la fonction, et lire $g(0)$ et $g'(0)$ pour la tangente.

• Pour l'équation différentielle : solution particulière vérifiée, solutions de l'équation homogène, somme, puis détermination de la constante avec la condition $g(0)=1$.

• Pour les points d'inflexion, étudier le signe de $h''$ et exiger un changement de signe, c'est-à-dire un discriminant strictement positif.

• Citer les croissances comparées pour la limite en $+\infty$, justifier le signe de $f'$ par $\mathrm{e}^{-x}>0$ et le signe du trinôme.

• Pour l'aire, vérifier la continuité et la positivité de $f$ sur $[0\,;\alpha]$ avant d'utiliser la primitive.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.