Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 2

Question 1.

On applique la relation de récurrence avec $n=0$ et $u_0=2$ :

Donc $u_1=\dfrac{5}{4}$.

Réponse : $u_1=\dfrac54$.

Question 2. a)

On a

Puis

Donc $a_0=2$ et $a_1=5$.

Réponse : $a_0=2$ et $a_1=5$.

Question 2. b)

Soit $n$ un entier naturel. On exprime d'abord $u_{n+1}-1$ en fonction de $u_n$ :

On en déduit

Par ailleurs, en mettant au même dénominateur,

Les deux expressions sont égales, donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. c)

Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on note $P(n)$ la propriété $a_n\geqslant 3n-1$.

Initialisation. On a $a_1=5$ et $3\times 1-1=2$. Comme $5\geqslant 2$, la propriété $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier fixé, $k\geqslant 1$, tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $a_k\geqslant 3k-1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $a_{k+1}\geqslant 3(k+1)-1=3k+2$.

D'après la question 2. b), $a_{k+1}=3a_k-1$.

On multiplie l'hypothèse de récurrence par $3>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On retranche $1$ à chaque membre :

On compare maintenant $9k-4$ et $3k+2$ :

Donc $9k-4\geqslant 3k+2$, et par transitivité

La propriété $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang $1$ : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_n\geqslant 3n-1$.

Question 2. d)

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty$.

De plus, pour tout $n\geqslant 1$, $a_n\geqslant 3n-1$ d'après la question précédente.

D'après le théorème de comparaison (une suite supérieure à une suite de limite $+\infty$ tend vers $+\infty$),

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty$.

Question 3. a)

Soit $n$ un entier naturel. On calcule

Ce nombre est non nul, donc $a_n-1\neq 0$ et le quotient $\dfrac{a_n}{a_n-1}$ est bien défini.

On a alors

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}$.

Question 3. b)

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty$, donc $a_n\neq 0$ à partir d'un certain rang, et

Pour $n\geqslant 1$, $a_n\geqslant 2$, donc on peut écrire, en divisant le numérateur et le dénominateur par $a_n$ :

Par opérations sur les limites, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{a_n}\right)=1$, avec $1\neq 0$. Par quotient,

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$.

Question 4. a)

Pour tout entier naturel $n$, $a_n\geqslant 2$ (c'est vrai pour $n=0$ car $a_0=2$, et pour $n\geqslant 1$ car $a_n\geqslant 3n-1\geqslant 2$). Donc $a_n-1\geqslant 1>0$, et d'après la question 3. a),

La suite $(u_n)$ est donc strictement supérieure à $1$, décroissante (admis) et de limite $1$.

Dans la fonction algo(p), la boucle while se poursuit tant que $u-1>p$. À la sortie de la boucle, on a donc $u-1\leqslant p$, et n a été augmenté de $1$ à chaque passage dans la boucle.

Comme la suite est décroissante, dès qu'un terme vérifie $u_n-1\leqslant p$, tous les suivants la vérifient aussi. Donc :

• n est le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n-1\leqslant p$, c'est-à-dire tel que $u_n$ soit à une distance de $1$ inférieure ou égale à $p$

• u est la valeur correspondante du terme $u_n$.

Question 4. b)

On a $u_n-1=\dfrac{1}{a_n-1}$ avec $a_0=2$, $a_{n+1}=3a_n-1$. Le calcul des premiers termes donne :

• $u_4-1=\dfrac{1}{121}\approx 0{,}0083>0{,}001$

• $u_5-1=\dfrac{1}{364}\approx 0{,}0027>0{,}001$

• $u_6-1=\dfrac{1}{1093}\approx 0{,}00091\leqslant 0{,}001$.

La boucle s'arrête donc au premier indice $n$ tel que $u_n-1\leqslant 0{,}001$, soit $n=6$.

Réponse : pour $p=0{,}001$, n $=6$.

Points clés attendus

• Pour la relation $a_{n+1}=3a_n-1$, calculer séparément $u_{n+1}-1$ puis $a_{n+1}$, et comparer avec $3a_n-1$ réduit au même dénominateur.

• Rédiger la récurrence complète : initialisation au rang $1$, hypothèse de récurrence, usage de $a_{k+1}=3a_k-1$, conclusion avec le principe de récurrence.

• Citer le théorème de comparaison pour la limite de $(a_n)$, puis les opérations sur les limites pour celle de $(u_n)$.

• Interpréter n et u en termes de seuil : premier rang pour lequel $u_n-1\leqslant p$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.