Bac 2024, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1. a)

Le point N$(0\,;2)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$, donc $f(0)=2$.

Réponse : $f(0)=2$.

Question 1. b)

Le nombre dérivé $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point N d'abscisse $0$.

La tangente $T$ passe par N$(0\,;2)$ et P$(2\,;0)$, donc

Réponse : $f'(0)=-1$.

Question 2.

Le point M$(-2\,;0)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc $f(-2)=0$ : $-2$ est solution de l'équation $f(x)=0$.

Montrons que c'est la seule solution.

• Sur $]-\infty\,;-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante (énoncé) et $f(-2)=0$. Donc $f(x)<0$ pour $x<-2$ et $f(x)>0$ pour $-2<x\leqslant -1$. Dans cet intervalle, $-2$ est la seule solution.

• Sur $[-1\,;0]$, la courbe se situe au-dessus de l'axe des abscisses (lecture graphique), donc $f$ ne s'annule pas.

• Sur $[0\,;+\infty[$, $f$ est strictement positive (énoncé), donc $f$ ne s'annule pas.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\{-2\}$.

Réponse : $S=\{-2\}$.

Question 3.

Une fonction est convexe sur $\mathbb{R}$ si sa courbe est située en dessous de chacune de ses cordes.

Considérons la corde [MN], où M$(-2\,;0)$ et N$(0\,;2)$ sont deux points de $\mathcal{C}_f$. Elle est portée par la droite d'équation $y=x+2$. Au point d'abscisse $-1$, cette droite a pour ordonnée $-1+2=1$.

Or, d'après le graphique, le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $-1$ a une ordonnée supérieure à $2$ : il est strictement au-dessus de la corde [MN].

Donc la courbe n'est pas située sous toutes ses cordes : la fonction $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.

Réponse : $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 4.

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. On a $F'=f$.

D'après la question 2 et la croissance de $f$ sur $]-\infty\,;-1]$ :

• $f(x)<0$ pour $x<-2$, donc $F$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-2]$

• $f(x)>0$ pour $x>-2$, donc $F$ est strictement croissante sur $[-2\,;+\infty[$.

La fonction $F$ admet donc un minimum en $x=-2$, et c'est son seul changement de sens de variation : un extremum de $F$ ne peut avoir lieu qu'en un réel où $F'=f$ s'annule, c'est-à-dire en $-2$.

Parmi les trois courbes :

• la courbe 1 a son minimum en $x=0$ : ce n'est pas possible, car $f(0)=2\neq 0$

• la courbe 3 est décroissante jusqu'à une abscisse voisine de $2$ : ce n'est pas possible non plus, car $f$ est strictement positive sur $[0\,;+\infty[$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle

• la courbe 2 est décroissante jusqu'à $x=-2$ environ, puis croissante : elle convient.

Donc la courbe qui peut représenter une primitive de $f$ est la courbe 2.

Réponse : courbe 2.

Partie B

Question 1.

On a $f(0)=(a\times 0+b)\,\mathrm{e}^{\lambda\times 0}=b\times 1=b$.

D'après la partie A, $f(0)=2$. Donc $b=2$.

Question 2.

D'après la partie A, $f(-2)=0$. Or

Comme $\mathrm{e}^{-2\lambda}>0$, le produit est nul si et seulement si $-2a+b=0$.

Donc $-2a+b=0$. Avec $b=2$, on obtient $-2a+2=0$, donc $a=1$.

Question 3.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u(x)=ax+b$ et $v(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}$, on a $u'(x)=a$ et $v'(x)=\lambda\,\mathrm{e}^{\lambda x}$. D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

En $x=0$ : $f'(0)=a+\lambda b=1+2\lambda$.

D'après la partie A, $f'(0)=-1$. Donc $1+2\lambda=-1$, soit $\lambda=-1$.

Avec $a=1$, $b=2$ et $\lambda=-1$ :

Partie C

Question 1.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)\,\mathrm{e}^{-x}=-\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$. Donc $f'(x)=(-x-1)\,\mathrm{e}^{-x}$ est du signe de $-x-1$.

On a $-x-1>0\iff x<-1$, et $-x-1=0\iff x=-1$. Donc :

• $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;-1[$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$

• $f'(-1)=0$

• $f'(x)<0$ sur $]-1\,;+\infty[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[-1\,;+\infty[$.

Valeur au maximum : $f(-1)=(-1+2)\,\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$.

Limite en $-\infty$ : $-\infty$ (question 1).

Limite en $+\infty$ : pour tout réel $x$, $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}+2\,\mathrm{e}^{-x}$. D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}=0$. De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$. Donc

Tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ (en $-\infty$) jusqu'à $f(-1)=\mathrm{e}$, puis décroît de $\mathrm{e}$ jusqu'à la limite $0$ en $+\infty$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;+\infty[$, et admet un maximum $f(-1)=\mathrm{e}$ en $x=-1$.

Question 3. a)

La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=-x-1$, $u'(x)=-1$, $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, la formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, $f''(x)$ est du signe de $x$ :

• $f''(x)<0$ pour $x<0$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$

• $f''(x)>0$ pour $x>0$ : $f$ est convexe sur $[0\,;+\infty[$.

Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$.

Question 3. b)

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f''$ s'annule en changeant de signe. Ici $f''$ s'annule en $0$ en passant du négatif au positif, et en aucun autre réel.

On a $f(0)=(0+2)\,\mathrm{e}^{0}=2$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, le point de coordonnées $(0\,;2)$, c'est-à-dire le point N.

Réponse : point d'inflexion $(0\,;2)$.

Question 4. a)

Les fonctions $u(x)=x+2$ et $v(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, de dérivées continues : $u'(x)=1$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-x}$. On pose donc

D'après la formule d'intégration par parties,

On calcule chaque terme. D'une part,

D'autre part,

En additionnant,

Donc, pour tout réel $t\geqslant 0$, $I(t)=(-t-3)\,\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2}$.

Question 4. b)

Pour $x\geqslant -2$, on a $x+2\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $f(x)\geqslant 0$. Pour $t\geqslant 0$, $I(t)$ est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-2$ et $x=t$.

Étudions la limite de $I(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. On a $I(t)=-t\,\mathrm{e}^{-t}-3\,\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{2}$. D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{t\to+\infty}t\,\mathrm{e}^{-t}=0$, et $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-t}=0$. Donc

Donc le domaine non borné situé entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses, pour $x\geqslant -2$, est une surface non limitée dont l'aire est finie, égale à $\mathrm{e}^{2}$ unités d'aire.

Réponse : $I(t)\xrightarrow[t\to+\infty]{}\mathrm{e}^{2}$ : la surface « $x\geqslant -2$, entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses » a pour aire $\mathrm{e}^{2}$.

Points clés attendus

• Lire $f(0)$ et $f'(0)$ sur le graphique, le nombre dérivé étant le coefficient directeur de la tangente.

• Justifier la non-convexité par la position de la courbe par rapport à une corde, et le choix de la courbe 2 par le signe de $f=F'$.

• Partie B : traduire chaque donnée graphique en équation sur $a$, $b$, $\lambda$ (valeur en $0$, valeur en $-2$, nombre dérivé en $0$).

• Citer les croissances comparées pour la limite en $+\infty$, et justifier le signe de $f'$ et de $f''$ par $\mathrm{e}^{-x}>0$.

• Intégration par parties : poser $u$ et $v$, vérifier qu'elles sont dérivables à dérivées continues, et calculer proprement les bornes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.