Bac 2024, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un client de la station, le succès étant l'évènement « le client passe moins de $12$ minutes dans la station », de probabilité $p=0{,}25$.

On choisit $10$ clients de façon indépendante, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise : on répète donc $n=10$ fois la même épreuve de Bernoulli, de façon identique et indépendante.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $10$ épreuves.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}25$ : $X\sim\mathcal{B}(10\;;\;0{,}25)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(10\;;\;0{,}25)$.

Question 2.

L'évènement « au moins $4$ clients passent moins de $12$ minutes » est l'évènement $\{X\geqslant4\}$, dont le contraire est $\{X\leqslant3\}$.

Avec $P(X=k)=\dbinom{10}{k}\,0{,}25^k\,0{,}75^{10-k}$, la calculatrice donne :

D'où

Donc la probabilité qu'au moins $4$ clients d'un échantillon de $10$ passent moins de $12$ minutes à la station est environ $0{,}224$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X\geqslant4)\approx0{,}224$.

Question 3.

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, l'espérance est $E(X)=np$.

Interprétation : si l'on répète un grand nombre de fois le prélèvement d'un échantillon de $10$ clients, le nombre moyen de clients passant moins de $12$ minutes à la station est $2{,}5$ par échantillon.

Donc $E(X)=2{,}5$.

Réponse : $E(X)=2{,}5$.

Partie B

Question 1.

Le troisième client doit attendre que le premier client ait libéré la pompe, puis que le deuxième l'ait libérée à son tour, avant de pouvoir alimenter son propre véhicule.

Son temps total à la station est donc la somme des temps passés par les trois clients à la pompe :

Question 2.

a) Par linéarité de l'espérance :

Interprétation : le troisième client passe en moyenne $18$ minutes à la station, entre son arrivée et son départ de la pompe.

Donc $E(S)=18$.

Réponse : $E(S)=18$.

b) Les variables aléatoires $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

Donc la variance du temps d'attente total est $V(S)=3$.

Réponse : $V(S)=3$.

Question 3.

On a les équivalences suivantes :

Comme $E(S)=18$, l'évènement $\{14<S<22\}$ est $\{|S-E(S)|<4\}$, dont le contraire est $\{|S-E(S)|\geqslant4\}$.

La variable $S$ admet une espérance $E(S)=18$ et une variance $V(S)=3$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique avec $\delta=4>0$ :

Par passage à l'évènement contraire :

Or $0{,}8125\geqslant0{,}81$.

Donc la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est supérieure ou égale à $0{,}81$.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}25$.

• Passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant4)$ et préciser l'arrondi au millième.

• Interpréter l'espérance dans le contexte (moyenne sur un grand nombre d'échantillons).

• Utiliser l'indépendance pour additionner les variances, et la linéarité pour les espérances.

• Citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $E(S)$, $V(S)$ et $\delta=4$, puis passer à l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.