Bac 2024, Métropole : exercice 3

Question 1. a) On calcule les coordonnées de deux vecteurs du plan (CAD), avec C$(0\,;0\,;10)$, A$(5\,;5\,;0)$ et D$\left(0\,;0\,;-\dfrac52\right)$ :

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ a ses deux premières coordonnées nulles, alors que celles de $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ ne le sont pas. Donc les points C, A, D ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

On calcule les produits scalaires avec $\vec n_1(1\,;-1\,;0)$ :

Le vecteur $\vec n_1$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CAD).

Donc $\vec n_1$ est un vecteur normal au plan (CAD).

b) Le vecteur $\vec n_1(1\,;-1\,;0)$ est normal à (CAD), donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme $x-y+d=0$, où $d$ est un réel.

Le point C$(0\,;0\,;10)$ appartient à (CAD) : $0-0+d=0$, donc $d=0$.

Une équation cartésienne de (CAD) est donc $x-y=0$.

Vérification : pour A$(5\,;5\,;0)$, $5-5=0$   pour D$\left(0\,;0\,;-\dfrac52\right)$, $0-0=0$.

Question 2. a) Un point de $\mathcal{D}$ de paramètre $t$ appartient au plan (CAD) si et seulement si ses coordonnées vérifient $x-y=0$ :

La droite $\mathcal{D}$ coupe donc le plan (CAD) en un seul point, obtenu pour $t=1$ :

Donc les coordonnées de H sont $\left(\dfrac52\,;\dfrac52\,;0\right)$.

b) On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$, avec B$(0\,;5\,;0)$ :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec n_1$ : la droite (BH) est orthogonale au plan (CAD).

De plus, H appartient à (CAD).

Donc H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).

Question 3. a) On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{HA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{HB}}$, avec H$\left(\dfrac52\,;\dfrac52\,;0\right)$ :

Le produit scalaire vaut

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{HA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{HB}}$ sont orthogonaux.

Donc le triangle ABH est rectangle en H.

b) Dans le repère orthonormé, on a

Le triangle ABH étant rectangle en H, son aire est

Donc l'aire du triangle ABH est $\dfrac{25}{4}$.

Réponse : aire de ABH $=\dfrac{25}{4}$.

Question 4. a) Les points A, B et H ont une cote nulle : ils appartiennent au plan $(xOy)$, d'équation $z=0$, dont $\vec k(0\,;0\,;1)$ est un vecteur normal. Ces trois points ne sont pas alignés (ABH est un triangle rectangle), donc le plan (ABH) est le plan $(xOy)$.

On a $\overrightarrow{\mathrm{CO}}\begin{pmatrix}0\\0\\-10\end{pmatrix}=-10\,\vec k$ : la droite (CO) est orthogonale au plan (ABH).

Le point O appartient au plan (ABH) car sa cote est nulle.

Donc (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C, et sa longueur est $\mathrm{CO}=10$.

b) Le tétraèdre ABCH a pour base le triangle ABH, d'aire $\dfrac{25}{4}$, et pour hauteur relative $\mathrm{CO}=10$.

D'après la formule $V=\dfrac13\mathcal{B}h$,

Donc le volume du tétraèdre ABCH est $\dfrac{125}{6}$.

Réponse : $V=\dfrac{125}{6}$.

Question 5. Le triangle ABC est rectangle en B (admis), avec

Son aire est donc

On calcule de nouveau le volume du tétraèdre ABCH en prenant le triangle ABC pour base. La hauteur relative à cette base est la distance $d$ du point H au plan (ABC), et le volume est le même que précédemment :

On en déduit

Donc la distance du point H au plan (ABC) est $\sqrt5$.

Réponse : $d(\mathrm{H},(\mathrm{ABC}))=\sqrt5$.

Points clés attendus

• Un vecteur normal : vérifier l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan, après avoir justifié leur non-colinéarité.

• Équation de plan : déterminer $d$ avec un point du plan, et contrôler avec les autres points.

• Projeté orthogonal : montrer que $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ est colinéaire au vecteur normal et que H est dans le plan.

• Triangle rectangle : produit scalaire nul, puis aire $\dfrac12\times\text{côté}\times\text{côté}$.

• Volume : citer $V=\dfrac13\mathcal{B}h$, identifier la hauteur issue de C, puis réutiliser le volume avec une autre base pour obtenir la distance.

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