Bac 2024, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

Les données de l'énoncé se traduisent ainsi : $P(D_1)=\dfrac13$, donc $P\left(\overline{D_1}\right)=1-\dfrac13=\dfrac23$.

Après un déplacement à droite, le robot se déplace de nouveau à droite avec la probabilité $\dfrac34$ : $P_{D_1}(D_2)=\dfrac34$, donc $P_{D_1}\left(\overline{D_2}\right)=\dfrac14$.

Après un déplacement à gauche, le robot se déplace de nouveau à gauche avec la probabilité $\dfrac12$ : $P_{\overline{D_1}}\left(\overline{D_2}\right)=\dfrac12$, donc $P_{\overline{D_1}}(D_2)=\dfrac12$.

L'arbre complété porte donc :

• sur la branche $D_1$ : $\dfrac13$, puis $\dfrac34$ vers $D_2$ et $\dfrac14$ vers $\overline{D_2}$

• sur la branche $\overline{D_1}$ : $\dfrac23$, puis $\dfrac12$ vers $D_2$ et $\dfrac12$ vers $\overline{D_2}$.

Question 2.

L'événement « le robot se déplace deux fois à droite » est $D_1\cap D_2$. D'après la formule des probabilités composées,

Donc la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite est $\dfrac14$.

Réponse : $P(D_1\cap D_2)=\dfrac14$.

Question 3.

Les événements $D_1$ et $\overline{D_1}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

On a $P(D_1\cap D_2)=\dfrac14$ (question 2) et

D'où

Donc $p_2=\dfrac{7}{12}$.

Question 4.

On cherche $P_{\overline{D_2}}(D_1)$. Par définition de la probabilité conditionnelle,

On a

D'où

Donc, sachant que le robot s'est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement, la probabilité qu'il se soit déplacé à droite lors du premier est $\dfrac15$.

Réponse : $P_{\overline{D_2}}(D_1)=\dfrac15$.

Partie B

Question 1.

Soit $n\geqslant1$. Les événements $D_n$ et $\overline{D_n}$ forment une partition de l'univers. Les données de l'énoncé donnent, pour tout $n\geqslant1$ :

D'après la formule des probabilités totales,

Donc pour tout entier $n\geqslant1$, $p_{n+1}=\dfrac14\,p_n+\dfrac12$.

Question 2. a)

Pour tout entier $n\geqslant1$, on pose $\mathcal{P}(n)$ : $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac23$.

On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac14x+\dfrac12$. Par la question 1, $p_{n+1}=g(p_n)$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (fonction affine de coefficient directeur $\dfrac14>0$), et

Initialisation. On a $p_1=\dfrac13$ et $p_2=\dfrac7{12}$. Comme $\dfrac13=\dfrac4{12}$ et $\dfrac23=\dfrac8{12}$, on a $\dfrac4{12}\leqslant\dfrac7{12}<\dfrac8{12}$, soit $p_1\leqslant p_2<\dfrac23$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k\leqslant p_{k+1}<\dfrac23$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

La fonction $g$ est strictement croissante : on l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $g(p_k)=p_{k+1}$, $g(p_{k+1})=p_{k+2}$ et $g\left(\dfrac23\right)=\dfrac23$. On obtient

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant1$, $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac23$.

2. b)

D'après la question 2. a), pour tout $n\geqslant1$ :

• $p_n\leqslant p_{n+1}$ : la suite $(p_n)$ est croissante

• $p_n\leqslant p_{n+1}<\dfrac23$, donc $p_n<\dfrac23$ : la suite $(p_n)$ est majorée par $\dfrac23$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(p_n)$ est convergente.

Question 3. a)

Pour tout entier $n\geqslant1$, d'après la question B1,

En effet $\dfrac14\times\dfrac23=\dfrac16$. Donc $u_{n+1}=\dfrac14\,u_n$ pour tout $n\geqslant1$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac14$, et de premier terme

3. b)

Comme $(u_n)_{n\geqslant1}$ est géométrique de raison $\dfrac14$ et de premier terme $u_1=-\dfrac13$, on a, pour tout $n\geqslant1$,

Comme $-1<\dfrac14<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac14\right)^{n-1}=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.

Or $p_n=u_n+\dfrac23$, donc

Interprétation : après un grand nombre de déplacements, la probabilité que le robot se déplace vers la droite se rapproche de $\dfrac23$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac23$.

Partie C

Le robot réalise $10$ déplacements indépendants, chacun ayant la probabilité $\dfrac34$ d'être vers la droite. Soit $X$ le nombre de déplacements vers la droite.

On répète $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès « se déplacer à droite » égale à $\dfrac34$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10\;;\;\dfrac34\right)$.

Le robot revient à son point de départ si et seulement s'il a effectué autant de déplacements vers la droite que vers la gauche, soit $5$ à droite et $5$ à gauche : c'est l'événement $\{X=5\}$.

Arrondie au millième, cette probabilité vaut $0{,}058$.

Donc la probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est environ $0{,}058$.

Réponse : $P(X=5)=\dfrac{15309}{262144}\approx0{,}058$.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre avec les événements contraires.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{D_n,\overline{D_n}\}$ pour établir la relation de récurrence.

• Récurrence rédigée complètement, en citant la croissance de la fonction affine utilisée et la valeur $g\left(\frac23\right)=\frac23$.

• Théorème de convergence monotone : suite croissante et majorée.

• Pour la suite géométrique : calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, donner le premier terme (indice $1$), et justifier la limite par $-1<q<1$.

• Partie C : justifier la loi binomiale, et traduire « retour au point de départ » par $X=5$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.