Bac 2024, Métropole : exercice 1

On se place dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\;;\;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$. Le cube ABCDEFGH ayant pour côté $1$, on a A$(0\;;\;0\;;\;0)$, B$(1\;;\;0\;;\;0)$, C$(1\;;\;1\;;\;0)$, D$(0\;;\;1\;;\;0)$, E$(0\;;\;0\;;\;1)$, F$(1\;;\;0\;;\;1)$, G$(1\;;\;1\;;\;1)$ et H$(0\;;\;1\;;\;1)$.

Question 1. a)

I est le milieu de $[\mathrm{AB}]$, avec A$(0\;;\;0\;;\;0)$ et B$(1\;;\;0\;;\;0)$ :

J est le milieu de $[\mathrm{CG}]$, avec C$(1\;;\;1\;;\;0)$ et G$(1\;;\;1\;;\;1)$ :

N est le milieu de $[\mathrm{IJ}]$ : on fait la moyenne des coordonnées de I et de J.

Réponse : I$\left(\dfrac12\;;\;0\;;\;0\right)$, J$\left(1\;;\;1\;;\;\dfrac12\right)$, N$\left(\dfrac34\;;\;\dfrac12\;;\;\dfrac14\right)$.

1. b)

On calcule coordonnée par coordonnée, avec $\mathrm{I}(0{,}5\;;\;0\;;\;0)$, $\mathrm{J}(1\;;\;1\;;\;0{,}5)$, $\mathrm{N}(0{,}75\;;\;0{,}5\;;\;0{,}25)$ et $\mathrm{F}(1\;;\;0\;;\;1)$ :

Donc $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\begin{pmatrix}0{,}5\\1\\0{,}5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{NF}}\begin{pmatrix}0{,}25\\-0{,}5\\0{,}75\end{pmatrix}$.

1. c)

Le repère est orthonormé : le produit scalaire se calcule avec les coordonnées.

Le produit scalaire est nul, et aucun des deux vecteurs n'est nul.

Donc les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{NF}}$ sont orthogonaux.

1. d)

Le point N appartient à la droite $(\mathrm{IJ})$ (c'est le milieu de $[\mathrm{IJ}]$) et la droite $(\mathrm{NF})$ est orthogonale à $(\mathrm{IJ})$. Donc $[\mathrm{NF}]$ est la hauteur du triangle FIJ issue de F, et sa longueur est $\mathrm{NF}=\dfrac{\sqrt{14}}{4}$ (valeur admise).

La base correspondante est $[\mathrm{IJ}]$ :

L'aire du triangle FIJ est le demi-produit de la base par la hauteur :

Donc l'aire du triangle FIJ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.

Question 2. a)

Le plan $(\mathrm{FIJ})$ est dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\left(0{,}5\;;\;1\;;\;0{,}5\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{IF}}\left(1-0{,}5\;;\;0-0\;;\;1-0\right)=\left(0{,}5\;;\;0\;;\;1\right)$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{IF}}$, la deuxième coordonnée donnerait $1=k\times0=0$, ce qui est impossible.

On calcule les produits scalaires avec $\vec{u}(4\;;\;-1\;;\;-2)$ :

Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(\mathrm{FIJ})$. Donc $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{FIJ})$.

2. b)

Le vecteur $\vec{u}(4\;;\;-1\;;\;-2)$ est normal au plan $(\mathrm{FIJ})$ : une équation cartésienne de ce plan est de la forme

Le point $\mathrm{I}\left(\dfrac12\;;\;0\;;\;0\right)$ appartient au plan, donc

On vérifie avec les deux autres points :

Donc une équation cartésienne du plan $(\mathrm{FIJ})$ est $4x-y-2z-2=0$.

2. c)

La droite $d$ est orthogonale au plan $(\mathrm{FIJ})$ : elle est dirigée par le vecteur normal $\vec{u}(4\;;\;-1\;;\;-2)$. Elle passe par H$(0\;;\;1\;;\;1)$.

Un point $\mathrm{M}(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{HM}}=t\,\vec{u}$ :

Donc une représentation paramétrique de la droite $d$ est $x=4t$, $y=1-t$, $z=1-2t$, $t\in\mathbb{R}$.

2. d)

La distance d'un point $\mathrm{M}(x_0\;;\;y_0\;;\;z_0)$ à un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est

Avec H$(0\;;\;1\;;\;1)$ et le plan $4x-y-2z-2=0$ :

Donc la distance du point H au plan $(\mathrm{FIJ})$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.

2. e)

On prend pour base du tétraèdre HFIJ le triangle FIJ, d'aire $\mathcal{B}=\dfrac{\sqrt{21}}{8}$. La hauteur relative à cette base est la distance de H au plan $(\mathrm{FIJ})$ : $h=\dfrac{5}{\sqrt{21}}$.

D'après la formule $V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$ :

La fraction $\dfrac{5}{24}$ est irréductible.

Donc le volume du tétraèdre HFIJ est $\dfrac{5}{24}$ (unité de volume).

Réponse : $V=\dfrac{5}{24}$.

Points clés attendus

• Coordonnées des milieux obtenues par moyenne des coordonnées, vecteurs calculés coordonnée par coordonnée.

• Orthogonalité justifiée par un produit scalaire nul, dans un repère orthonormé.

• Pour un vecteur normal : orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan, avec la non-colinéarité justifiée.

• Équation du plan : coefficients donnés par le vecteur normal, constante déterminée avec un point du plan, vérification avec les autres points.

• Formule de la distance d'un point à un plan citée, puis formule du volume $\frac13\times\mathcal{B}\times h$ avec la base et la hauteur correctement identifiées.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.