Bac 2024, Asie : exercice 2

Question 1. D'après l'énoncé, si Léa vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans $70\,\%$ des cas : $p_{G_1}(G_2)=0{,}7$.

Les évènements $G_2$ et $D_2$ sont contraires, donc les probabilités conditionnelles sachant $G_1$ ont une somme égale à $1$ :

Donc la probabilité que Léa perde la deuxième partie sachant qu'elle a gagné la première est $0{,}3$.

Réponse : $p_{G_1}(D_2)=0{,}3$.

Question 2. Traduction des données en probabilités :

• elle a autant de chances de gagner la première partie que de la perdre : $P(G_1)=0{,}5$ et $P(D_1)=0{,}5$

• après une victoire : $p_{G_1}(G_2)=0{,}7$ et $p_{G_1}(D_2)=1-0{,}7=0{,}3$

• après une défaite, la probabilité de gagner la suivante est $0{,}2$ : $p_{D_1}(G_2)=0{,}2$ et $p_{D_1}(D_2)=1-0{,}2=0{,}8$.

L'arbre complété porte ces valeurs : $0{,}5$ sur les branches $G_1$ et $D_1$   $0{,}7$ et $0{,}3$ sur les branches issues de $G_1$ (vers $G_2$ puis $D_2$)   $0{,}2$ et $0{,}8$ sur les branches issues de $D_1$ (vers $G_2$ puis $D_2$).

Question 3. Les évènements $G_1$ et $D_1$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers).

D'après la formule des probabilités totales,

On remplace par les valeurs :

Donc la probabilité que Léa gagne la deuxième partie est $0{,}45$.

Réponse : $g_2=0{,}45$.

Question 4. a) Soit $n$ un entier naturel non nul. On a $P(G_n)=g_n$ et $P(D_n)=1-g_n$.

Les probabilités conditionnelles sont celles de l'énoncé, qui ne dépendent pas du rang de la partie :

• $p_{G_n}(G_{n+1})=0{,}7$ et $p_{G_n}(D_{n+1})=0{,}3$

• $p_{D_n}(G_{n+1})=0{,}2$ et $p_{D_n}(D_{n+1})=0{,}8$.

L'arbre complété porte donc $g_n$ sur la branche $G_n$, $1-g_n$ sur la branche $D_n$, puis $0{,}7$ et $0{,}3$ sur les deux branches issues de $G_n$, et $0{,}2$ et $0{,}8$ sur les deux branches issues de $D_n$.

b) Les évènements $G_n$ et $D_n$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On développe :

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1}=0{,}5\,g_n+0{,}2$.

Question 5. a) Pour tout entier $n\geqslant1$, on a $v_n=g_n-0{,}4$, donc

On factorise par $0{,}5$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$.

Son premier terme est $v_1=g_1-0{,}4=0{,}5-0{,}4=0{,}1$.

Réponse : $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_1=0{,}1$.

b) La suite $(v_n)_{n\geqslant1}$ est géométrique de premier terme $v_1=0{,}1$ et de raison $0{,}5$ : pour tout $n\geqslant1$,

Or $g_n=v_n+0{,}4$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul,

Question 6. Pour tout $n\geqslant1$,

Or $v_n=0{,}1\times0{,}5^{\,n-1}>0$, donc $g_{n+1}-g_n=-0{,}5\,v_n<0$.

Donc la suite $(g_n)$ est strictement décroissante.

Question 7. On a $-1<0{,}5<1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}5^{\,n-1}=0$ (limite d'une suite géométrique de raison comprise entre $-1$ et $1$).

Par produit par $0{,}1$ puis somme avec $0{,}4$, on obtient

Interprétation : au fil des parties de la journée, la probabilité que Léa gagne une partie se rapproche de $0{,}4$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}g_n=0{,}4$.

Question 8. Pour $n\geqslant1$, on raisonne par équivalences :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $0{,}5<1$, on a $\ln0{,}5<0$ : en divisant par $\ln0{,}5$, on change le sens de l'inégalité,

Donc $n\geqslant7{,}64$ environ, et le plus petit entier convenable est $n=8$.

Vérification : $g_8-0{,}4=0{,}1\times0{,}5^{7}=0{,}00078125\leqslant0{,}001$ et $g_7-0{,}4=0{,}1\times0{,}5^{6}=0{,}0015625>0{,}001$.

Donc le plus petit entier $n$ tel que $g_n-0{,}4\leqslant0{,}001$ est $8$.

Réponse : $n=8$.

Question 9. La suite $(g_n)$ est strictement décroissante (question 6) et converge vers $0{,}4$ avec $g_n>0{,}4$ pour tout $n$. À partir du premier rang tel que $g_n\leqslant0{,}4+e$, tous les termes suivants le sont aussi.

La boucle doit donc se poursuivre tant que $g>0{,}4+e$. À chaque tour, $g$ est remplacé par le terme suivant et le rang $n$ augmente de $1$.

Fonction complétée :

def seuil(e) :
    g = 0.5
    n = 1
    while g > 0.4 + e :
        g = 0.5 * g + 0.2
        n = n + 1
    return (n)

Les lignes complétées sont : ligne 4, while g > 0.4 + e :   ligne 5, g = 0.5 * g + 0.2 (déjà écrite)   ligne 6, n = n + 1.

Contrôle : pour $e=0{,}001$, la fonction renvoie $8$, valeur trouvée à la question 8.

Points clés attendus

• Nommer la partition utilisée dans la formule des probabilités totales ($\{G_1,D_1\}$ puis $\{G_n,D_n\}$) et écrire la formule avant le calcul.

• Pour la suite géométrique : calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis préciser raison et premier terme $v_1$ (la suite commence au rang $1$).

• Justifier la décroissance par le signe de $g_{n+1}-g_n$ et la limite par celle de $0{,}5^{\,n-1}$ avec $-1<0{,}5<1$.

• Dans l'inéquation, changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln0{,}5<0$.

• Python : condition de boucle $g>0{,}4+e$ et incrémentation $n=n+1$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.