Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 4

Question 1.

Un point $M(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à la droite $(d_1)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u_1}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $s$ tel que $\overrightarrow{AM}=s\,\vec{u_1}$.

On a $\overrightarrow{AM}(x-1\;;\;y-2\;;\;z+1)$ et $s\,\vec{u_1}(s\;;\;2s\;;\;0)$. On identifie les coordonnées :

Donc une représentation paramétrique de $(d_1)$ est

Question 2.

Pour montrer que $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas coplanaires, on montre qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

Elles ne sont pas parallèles. Un vecteur directeur de $(d_2)$ est $\vec{u_2}(0\;;\;1\;;\;1)$, lu sur la représentation paramétrique. Les vecteurs $\vec{u_1}(1\;;\;2\;;\;0)$ et $\vec{u_2}(0\;;\;1\;;\;1)$ ne sont pas colinéaires : si l'on avait $\vec{u_2}=\lambda\vec{u_1}$, l'abscisse donnerait $0=\lambda\times 1$, donc $\lambda=0$, ce qui contredit $1=\lambda\times 2$. Donc les droites ne sont pas parallèles.

Elles ne sont pas sécantes. Un point commun correspondrait à des réels $s$ et $t$ vérifiant

La première équation donne $s=-1$. La troisième donne $t=-3$.

La deuxième équation devient alors $2+2\times(-1)=0$ d'un côté et $1+(-3)=-2$ de l'autre, soit $0=-2$ : c'est impossible.

Le système n'a pas de solution, donc les droites n'ont aucun point commun.

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont ni parallèles ni sécantes : donc elles sont non coplanaires.

Question 3.

Le vecteur $\vec{n}(-2\;;\;1\;;\;5)$ est orthogonal à $\vec{u_1}$ et à $\vec{w}$ :

Les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{w}$ dirigent le plan $\mathcal{P}$ et ne sont pas colinéaires (énoncé). Le vecteur $\vec{n}$, non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ : c'est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Donc $\mathcal{P}$ admet une équation cartésienne de la forme

Le point $A(1\;;\;2\;;\;-1)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc

Donc une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est

Question 4. a)

Le vecteur $\vec{u_2}(0\;;\;1\;;\;1)$ dirige $(d_2)$ et le vecteur $\vec{n}(-2\;;\;1\;;\;5)$ est normal à $\mathcal{P}$.

On calcule le produit scalaire :

Donc $\vec{u_2}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$ : la droite $(d_2)$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal{P}$.

Donc la droite $(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un unique point.

Question 4. b)

Les coordonnées du point d'intersection F sont celles d'un point de $(d_2)$, soit $(0\;;\;1+t\;;\;2+t)$ pour un certain réel $t$, qui vérifient l'équation de $\mathcal{P}$ :

On développe : $1+t+10+5t+5=0$, soit $6t+16=0$, donc $t=-\dfrac{16}6=-\dfrac83$.

On reporte dans la représentation paramétrique de $(d_2)$ :

Donc le point d'intersection est F$\left(0\;;\;-\dfrac53\;;\;-\dfrac23\right)$.

Question 5. a)

Le point E appartient à $(d_1)$ (énoncé) et le point F appartient à $(d_2)$.

La droite (EF) est la droite $(\delta)$, qui passe par F et a pour vecteur directeur $\vec{w}(2\;;\;-1\;;\;1)$. En effet, E appartient à $(\delta)$ et E est distinct de F (leurs abscisses sont $-\dfrac23$ et $0$).

On calcule les produits scalaires de $\vec{w}$ avec les vecteurs directeurs de $(d_1)$ et de $(d_2)$ :

Donc la droite (EF) est orthogonale à $(d_1)$ et à $(d_2)$.

Comme E est sur $(d_1)$, F est sur $(d_2)$ et (EF) est orthogonale aux deux droites, la définition de l'énoncé s'applique : donc la distance EF est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.

Question 5. b)

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$ :

La base $(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ est orthonormée, donc

On a $\dfrac{\sqrt6}{3}\approx 0{,}82$.

Donc la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ est $\dfrac{\sqrt6}{3}$, soit environ $0{,}82$ unité de longueur.

Réponse : $EF=\dfrac{\sqrt6}{3}\approx 0{,}82$.

Points clés attendus

• Question 2 : montrer à la fois la non-colinéarité des vecteurs directeurs et l'absence de point commun en résolvant le système.

• Question 3 : vérifier que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, puis déterminer la constante avec les coordonnées de A.

• Question 4 : le produit scalaire $\vec{u_2}\cdot\vec{n}\neq 0$ justifie que la droite et le plan sont sécants   résoudre ensuite pour $t$ et reporter dans la représentation paramétrique.

• Question 5 a) : calculer $\vec{w}\cdot\vec{u_1}$ et $\vec{w}\cdot\vec{u_2}$, puis revenir à la définition de la distance entre deux droites.

• Question 5 b) : coordonnées de $\overrightarrow{EF}$, puis norme dans un repère orthonormé.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.