Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 1

Partie A

Question 1.

La fonction $g : x\mapsto a\,x\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables.

On pose $u(x)=a\,x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-\frac14 x}$. Alors $u'(x)=a$ et $v'(x)=-\dfrac14\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\geqslant 0$,

On en déduit

La fonction $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout $x\geqslant 0$,

Comme $\mathrm{e}^{-\frac14 x}>0$, cette égalité équivaut à $a=20$.

Donc la fonction $g$ est solution particulière de $(E)$ si et seulement si $a=20$.

Réponse : $a=20$.

Question 2.

L'équation $(E')$ s'écrit $y'=-\dfrac14\,y$. C'est une équation de la forme $y'=ay$ avec $a=-\dfrac14$.

D'après le cours, les solutions de $y'=ay$ sur $[0\;;\;+\infty[$ sont les fonctions $x\mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Donc les solutions de $(E')$ sont les fonctions

Réponse : $y(x)=C\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 3.

Une fonction $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-g$ est solution de $(E')$, où $g(x)=20x\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$ est la solution particulière obtenue à la question 1.

En effet, par linéarité de la dérivation, $(y-g)'+\dfrac14(y-g)=\left(y'+\dfrac14 y\right)-\left(g'+\dfrac14 g\right)=\left(y'+\dfrac14 y\right)-20\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

Cette expression est nulle si et seulement si $y$ est solution de $(E)$.

D'après la question 2, $y-g$ est solution de $(E')$ si et seulement s'il existe $C\in\mathbb{R}$ tel que $y(x)-g(x)=C\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

Donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions

Réponse : $y(x)=(20x+C)\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 4.

D'après la question 3, la solution $f$ cherchée est de la forme $f(x)=(20x+C)\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

La condition $f(0)=8$ s'écrit

Donc $C=8$ et la solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=8$ est la fonction $f$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par

Réponse : $f(x)=(20x+8)\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

Partie B

Question 1. a)

La fonction $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=20x+8$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

On a $u'(x)=20$ et $v'(x)=-\dfrac14\,\mathrm{e}^{-\frac14 x}$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\geqslant 0$,

On factorise par $\mathrm{e}^{-\frac14 x}$ :

Donc, pour tout réel $x$ positif,

Question 1. b)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-\frac14 x}>0$. Donc $f'(x)$ a le même signe que $18-5x$.

On résout $18-5x=0$ : on obtient $x=\dfrac{18}{5}=3{,}6$.

Le coefficient de $x$ dans $18-5x$ est négatif, donc :

• $18-5x>0$ pour $x<3{,}6$, donc $f'(x)>0$ sur $[0\;;\;3{,}6[$

• $18-5x<0$ pour $x>3{,}6$, donc $f'(x)<0$ sur $]3{,}6\;;\;+\infty[$.

On en déduit les variations de $f$ :

• $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;3{,}6]$, de $f(0)=8$ jusqu'à $f(3{,}6)$

• $f$ est strictement décroissante sur $[3{,}6\;;\;+\infty[$, de $f(3{,}6)$ jusqu'à la limite $0$ en $+\infty$ (limite admise dans l'énoncé).

Le maximum de $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$ est donc atteint en $x=3{,}6$ :

Donc le maximum de $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$ vaut $80\,\mathrm{e}^{-0{,}9}$ (soit environ $32{,}5$), atteint en $x=3{,}6$.

Réponse : maximum $f(3{,}6)=80\,\mathrm{e}^{-0{,}9}\approx 32{,}5$.

Question 2. a)

On a $[14\;;\;15]\subset[3{,}6\;;\;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est strictement décroissante. Sur $[14\;;\;15]$, la fonction $f$ vérifie :

• $f$ est continue, car dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$

• $f$ est strictement décroissante, d'après la question 1. b).

On calcule les valeurs aux bornes :

Donc $8$ est compris entre $f(15)$ et $f(14)$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone sur un intervalle), l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[14\;;\;15]$.

Question 2. b)

On fait tourner la fonction pas à pas. Au départ, $a=14$ et $b=15$, donc $b-a=1>0{,}1$ : on entre dans la boucle.

Première colonne (déjà remplie) : $m=14{,}5$. On a $f(14{,}5)\approx 7{,}94<8$, donc la condition $f(m)>8$ est FAUSSE. On exécute $b=m$, donc $b=14{,}5$.

Deuxième colonne :

• $a=14$, $b=14{,}5$, $b-a=0{,}5>0{,}1$

• $m=\dfrac{14+14{,}5}{2}=14{,}25$

• $f(14{,}25)\approx 8{,}31>8$ : la condition est VRAIE, donc $a=14{,}25$.

Troisième colonne :

• $a=14{,}25$, $b=14{,}5$, $b-a=0{,}25>0{,}1$

• $m=14{,}375$

• $f(14{,}375)\approx 8{,}12>8$ : la condition est VRAIE, donc $a=14{,}375$.

Quatrième colonne :

• $a=14{,}375$, $b=14{,}5$, $b-a=0{,}125>0{,}1$

• $m=14{,}4375$

• $f(14{,}4375)\approx 8{,}03>8$ : la condition est VRAIE, donc $a=14{,}4375$.

Cinquième colonne (grisée) :

• $a=14{,}4375$, $b=14{,}5$, $b-a=0{,}0625$

• $0{,}0625\leqslant 0{,}1$ : la condition de la boucle $b-a>0{,}1$ est fausse, on sort de la boucle, et la fonction renvoie $(14{,}4375\;;\;14{,}5)$.

Donc le tableau complété est :

• $a$ : $14$   $14$   $14{,}25$   $14{,}375$   $14{,}4375$

• $b$ : $15$   $14{,}5$   $14{,}5$   $14{,}5$   $14{,}5$

• $b-a$ : $1$   $0{,}5$   $0{,}25$   $0{,}125$   $0{,}0625$

• $m$ : $14{,}5$   $14{,}25$   $14{,}375$   $14{,}4375$   (case grisée)

• condition $f(m)>8$ : FAUX   VRAI   VRAI   VRAI   (case grisée).

Question 2. c)

La fonction solution_equation applique la méthode de dichotomie à la fonction $f$ sur $[14\;;\;15]$.

À chaque passage dans la boucle, l'intervalle $[a\;;\;b]$ contient $\alpha$ et sa longueur est divisée par $2$. Comme $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle :

• si $f(m)>8=f(\alpha)$, alors $m<\alpha$, et l'on remplace $a$ par $m$

• sinon $m\geqslant\alpha$, et l'on remplace $b$ par $m$.

La boucle s'arrête quand $b-a\leqslant 0{,}1$.

Donc la fonction solution_equation détermine un encadrement de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=8$ d'amplitude inférieure ou égale à $0{,}1$ : elle renvoie $(14{,}4375\;;\;14{,}5)$, c'est-à-dire $14{,}4375\leqslant\alpha\leqslant 14{,}5$.

Points clés attendus

• Question A1 : dériver $g$ avec $(uv)'=u'v+uv'$ et identifier $a$ en simplifiant par $\mathrm{e}^{-\frac14 x}>0$.

• Solutions de $(E)$ : solution particulière plus solutions de l'équation homogène, puis détermination de la constante avec $f(0)=8$.

• Signe de $f'$ justifié par $\mathrm{e}^{-\frac14 x}>0$, puis variations et valeur exacte du maximum.

• Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire) : continuité, stricte décroissance, signes de $f-8$ aux bornes de $[14\;;\;15]$.

• Tableau de l'algorithme rempli ligne par ligne, avec le test de la condition à chaque étape.

• Rôle de l'algorithme : dichotomie, encadrement de $\alpha$ d'amplitude au plus $0{,}1$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.