Bac 2023, Polynésie : exercice 1

Partie A

Question 1. On complète l'arbre à l'aide des données de l'énoncé.

Si l'athlète franchit la haie lors de la séance $n$, il la franchit à la séance suivante dans $90\,\%$ des cas. Donc

Si l'athlète ne franchit pas la haie lors de la séance $n$, il ne la franchit pas non plus à la séance suivante dans $70\,\%$ des cas. Donc

Les pointillés sont donc, de haut en bas : $0{,}9$   $0{,}1$   $0{,}3$   $0{,}7$.

Réponse : $P_{R_n}(R_{n+1}) = 0{,}9$   $P_{R_n}\left(\overline{R_{n+1}}\right) = 0{,}1$   $P_{\overline{R_n}}(R_{n+1}) = 0{,}3$   $P_{\overline{R_n}}\left(\overline{R_{n+1}}\right) = 0{,}7$.

Question 2. Les évènements $R_n$ et $\overline{R_n}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(R_n) = p_n$ et $P\left(\overline{R_n}\right) = 1 - p_n$.

D'après la formule des probabilités totales :

On exprime chaque terme comme un produit de probabilités le long des branches de l'arbre :

On additionne :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0{,}6\,p_n + 0{,}3$.

Question 3.

a) Soit $n$ un entier naturel. On exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :

On factorise par $0{,}6$, en remarquant que $0{,}45 = 0{,}6 \times 0{,}75$ :

Le premier terme est

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}6$ et de premier terme $u_0 = -0{,}15$.

Réponse : raison $0{,}6$   premier terme $u_0 = -0{,}15$.

b) La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ et de premier terme $-0{,}15$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Or $u_n = p_n - 0{,}75$, donc $p_n = u_n + 0{,}75$. On obtient

c) On a $-1 < 0{,}6 < 1$. D'après la propriété sur la limite d'une suite géométrique, $\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}6^n = 0$.

Par produit par la constante $-0{,}15$ puis par somme avec la constante $0{,}75$ :

Donc la suite $(p_n)$ est convergente et sa limite est $\ell = 0{,}75$.

Réponse : $\ell = 0{,}75$.

d) $p_n$ est la probabilité que l'athlète franchisse la haie lors de la $n$-ième séance. Donc, au bout d'un grand nombre de séances, cette probabilité se rapproche de $0{,}75$, quelle que soit la probabilité initiale $p_0$.

Autrement dit, à long terme, l'athlète franchit la haie dans $75\,\%$ des cas.

Partie B

Question 1. On répète $10$ fois la même épreuve : le saut d'une haie. Chaque saut n'a que deux issues, succès (la haie est franchie) avec la probabilité $p = 0{,}75$, ou échec. D'après l'énoncé, les sauts sont indépendants les uns des autres.

Il s'agit donc de la répétition de $n = 10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}75$, notée $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}75)$.

Réponse : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}75)$.

Question 2. Franchir les $10$ haies correspond à l'évènement $\{X = 10\}$. Pour une loi binomiale,

À la calculatrice, $0{,}75^{10} \approx 0{,}0563$.

Donc la probabilité que l'athlète franchisse les $10$ haies est environ $0{,}056$, arrondie au millième.

Réponse : $P(X = 10) = 0{,}75^{10} \approx 0{,}056$.

Question 3. L'évènement $\{X \geqslant 9\}$ est la réunion des évènements incompatibles $\{X = 9\}$ et $\{X = 10\}$. Donc

On calcule chaque terme avec la loi binomiale :

On additionne :

La valeur non arrondie est $0{,}24402\ldots$ Donc la probabilité que l'athlète franchisse au moins $9$ haies est environ $0{,}244$, arrondie au millième.

Réponse : $P(X \geqslant 9) \approx 0{,}244$.

Points clés attendus

• Compléter l'arbre en utilisant les probabilités conditionnelles et les évènements contraires ($1 - 0{,}9$ et $1 - 0{,}7$).

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{R_n\,;\,\overline{R_n}\}$ pour obtenir la relation de récurrence.

• Pour la suite géométrique : calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, donner la raison et $u_0$, puis justifier la limite par $-1 < 0{,}6 < 1$.

• Justifier le recours à la loi binomiale : $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}75$.

• Pour $P(X \geqslant 9)$, additionner $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$ et respecter l'arrondi demandé.

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