Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

Question 1. Réponse b.

L'évènement $A$ compte $75$ adhérents sur $200$, et parmi eux $25$ sont des filles. Par définition de la probabilité conditionnelle,

Donc la probabilité que l'adhérent soit une fille sachant qu'il pratique l'aviron est $\dfrac{25}{75}$.

Les autres propositions sont à écarter : le dénominateur doit être l'effectif de $A$, soit $75$ (et non $100$, $105$), et le numérateur $75$ de la proposition d. ne correspond pas à un effectif de $F\cap A$.

Réponse : b. $\dfrac{25}{75}$.

Question 2. Réponse c.

D'après le tableau, $P(A)=\dfrac{75}{200}$, $P(F)=\dfrac{105}{200}$ et $P(A\cap F)=\dfrac{25}{200}$.

D'après la formule de la probabilité d'une réunion,

Donc la probabilité de $A\cup F$ est $\dfrac{31}{40}$.

On peut contrôler avec l'évènement contraire : $\overline{A\cup F}$ correspond aux garçons pratiquant le basket, soit $45$ adhérents, de probabilité $\dfrac{45}{200}=\dfrac9{40}$, et $1-\dfrac9{40}=\dfrac{31}{40}$.

Réponse : c. $\dfrac{31}{40}$.

Question 3. Réponse d.

Les pannes du bus et du train sont indépendantes, donc la probabilité que les deux soient en panne est le produit des probabilités : $bt$.

D'après la formule de la probabilité d'une réunion,

Donc $p_1=b+t-bt$.

Les propositions a. et c. sont écartées : a. est la probabilité que les deux soient en panne, c. oublie de retrancher l'intersection (et pourrait dépasser $1$). La proposition b. est la probabilité de l'évènement contraire de « les deux sont en panne », qui n'est pas celui demandé.

Réponse : d. $p_1=b+t-bt$.

Question 4. Réponse b.

Albert peut se rendre à son travail s'il peut utiliser au moins un des deux moyens de transport, c'est-à-dire si le bus et le train ne sont pas tous les deux en panne.

L'évènement contraire est « le bus et le train sont tous les deux en panne », de probabilité $bt$ (pannes indépendantes).

Donc $p_2=1-bt$.

Réponse : b. $p_2=1-bt$.

Question 5. Réponse d.

L'évènement contraire de « obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers » est « obtenir PILE à chacun des $n$ lancers ».

La probabilité d'obtenir PILE à un lancer est $1-x$. Les lancers étant indépendants, la probabilité d'obtenir $n$ fois PILE est $(1-x)^n$.

Donc

Réponse : d. $p=1-(1-x)^n$.

Points clés attendus

• Probabilité conditionnelle : le dénominateur est l'effectif (ou la probabilité) de l'évènement donné comme condition.

• Formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, sans oublier d'ôter l'intersection.

• Pour des évènements indépendants, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

• Passer par l'évènement contraire pour traiter « au moins un ».

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.