Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

Question 1.

On a $u_0=0$, donc

Puis

Réponse : $u_1=-\dfrac43$ et $u_2=-\dfrac85$.

Question 2.

La variable u doit contenir $u_0=0$ avant la boucle. À chaque passage dans la boucle, elle est remplacée par l'image de sa valeur précédente par $u\mapsto\dfrac{-u-4}{u+3}$. Après $n$ passages, u contient $u_n$.

La fonction complétée est :

def terme(n):
    u = 0
    for i in range(n):
        u = (-u - 4) / (u + 3)
    return(u)

Vérification : pour $n=2$, la boucle s'exécute pour $i=0$ puis $i=1$   u prend successivement les valeurs $0$, puis $-\dfrac43$, puis $-\dfrac85$, ce qui correspond à $u_0$, $u_1$, $u_2$. Donc terme(n) renvoie bien $u_n$.

Question 3.

La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $x+3$ ne s'annule pas sur cet intervalle (il est strictement positif).

On pose $u(x)=-x-4$ et $v(x)=x+3$, avec $u'(x)=-1$ et $v'(x)=1$. D'après la formule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ :

Pour tout $x\in\,]-3;+\infty[$, $(x+3)^2>0$, donc $f'(x)>0$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.

Question 4.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $-2<u_{n+1}\leqslant u_n$.

Initialisation. On a $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac43$. Comme $-2<-\dfrac43\leqslant0$, on a $-2<u_1\leqslant u_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $-2<u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

Les nombres $-2$, $u_{k+1}$ et $u_k$ appartiennent à l'intervalle $]-3;+\infty[$ (car $u_{k+1}>-2>-3$ et $u_k\geqslant u_{k+1}$). La fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle (question 3), donc elle conserve les inégalités :

On a $f(-2)=\dfrac{2-4}{-2+3}=\dfrac{-2}{1}=-2$, $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$ et $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$.

On obtient donc

c'est-à-dire $P(k+1)$.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 5.

D'après la question 4, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

De plus, pour tout $n$, $u_{n+1}>-2$, et $u_0=0>-2$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $-2$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 6. a)

Réponse : $v_0=\dfrac12$.

Question 6. b)

D'après la question 4, $u_n>-2$ pour tout $n$ (et $u_0=0$), donc $u_n+2>0$ : la suite $(v_n)$ est bien définie. De plus $u_n+3>0$.

On calcule d'abord

Donc

Donc la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $1$ et de premier terme $v_0=\dfrac12$.

Question 6. c)

Une suite arithmétique de premier terme $v_0$ et de raison $r$ vérifie $v_n=v_0+nr$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Comme $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}$ avec $u_n+2\neq0$, on a $u_n+2=\dfrac{1}{v_n}$, donc

Cette formule est valable pour tout $n\geqslant1$, et même dès $n=0$ (elle donne $u_0=\dfrac{1}{0{,}5}-2=0$).

Question 6. d)

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}(n+0{,}5)=+\infty$, donc, par passage à l'inverse,

Par somme de limites,

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $-2$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-2$.

Points clés attendus

• Calculer $u_1$ et $u_2$ en exacts, sans arrondi.

• Pour la fonction Python : initialiser u à $u_0$ et appliquer la relation de récurrence dans la boucle for.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec l'hypothèse de récurrence, conclusion) en citant la croissance de $f$ sur $]-3;+\infty[$ et en utilisant $f(-2)=-2$.

• Citer le théorème de la limite monotone, en précisant décroissance et minoration.

• Pour la suite arithmétique : exprimer $u_{n+1}+2$ en fonction de $u_n$, puis montrer que $v_{n+1}-v_n$ est constante.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.