Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

Question 1.

Pour tout $x\geqslant0$, on a $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.

Pour $x>0$, on peut écrire

D'après le théorème des croissances comparées,

Par passage à l'inverse (limite de l'inverse d'une fonction de limite infinie),

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet, en $+\infty$, la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) pour asymptote horizontale.

Réponse : asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.

Question 2.

La fonction $f$ est le produit de $u$ et $v$ définies sur $[0;+\infty[$ par $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$.

Ces deux fonctions sont dérivables sur $[0;+\infty[$ et

(dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$, soit $w'(x)\,\mathrm{e}^{w(x)}$).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\geqslant0$,

Donc, pour tout $x\in[0;+\infty[$, $f'(x)=(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}$.

Question 3.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ : le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1-x$.

• Pour $0\leqslant x<1$, on a $1-x>0$, donc $f'(x)>0$.

• Pour $x=1$, $f'(1)=0$.

• Pour $x>1$, on a $1-x<0$, donc $f'(x)<0$.

Ainsi $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.

Valeurs aux bornes et à l'extremum :

Tableau de variations : $f$ passe de $0$ (en $x=0$) à $\dfrac1{\mathrm{e}}$ (en $x=1$) en croissant, puis décroît de $\dfrac1{\mathrm{e}}$ vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum sur $[0;+\infty[$, atteint en $x=1$, égal à $\dfrac1{\mathrm{e}}$.

Question 4.

On a $\dfrac1{\mathrm{e}}\approx0{,}3679$, donc

Sur l'intervalle $[0;1]$ : la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac1{\mathrm{e}}$. Le réel $0{,}367$ appartient à $\left]0;\dfrac1{\mathrm{e}}\right[$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones), l'équation $f(x)=0{,}367$ admet une unique solution dans $[0;1]$.

Sur l'intervalle $[1;+\infty[$ : la fonction $f$ est continue et strictement décroissante, avec $f(1)=\dfrac1{\mathrm{e}}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. Le réel $0{,}367$ appartient à $\left]0;\dfrac1{\mathrm{e}}\right]$, intervalle image de $[1;+\infty[$ par $f$.

D'après le même corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0{,}367$ admet une unique solution dans $[1;+\infty[$. Elle est distincte de la première, car $f(1)=\dfrac1{\mathrm{e}}\neq0{,}367$.

Donc l'équation $f(x)=\dfrac{367}{1000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.

Réponse : $2$ solutions.

Question 5.

On admet que $f''(x)=\mathrm{e}^{-x}(x-2)$.

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x-2$.

• Pour $0\leqslant x<2$, on a $x-2<0$, donc $f''(x)<0$.

• Pour $x=2$, $f''(2)=0$.

• Pour $x>2$, on a $x-2>0$, donc $f''(x)>0$.

Donc $f$ est concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.

Comme $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion, d'abscisse $2$.

Question 6. a)

La tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Avec $f'(a)=(1-a)\mathrm{e}^{-a}$ et $f(a)=a\,\mathrm{e}^{-a}$ :

Donc une équation réduite de $T_a$ est bien $y=\left[(1-a)\mathrm{e}^{-a}\right]x+a^2\mathrm{e}^{-a}$.

Question 6. b)

Le point $\mathrm{H}_a$ est le point d'intersection de $T_a$ et de l'axe des ordonnées, d'équation $x=0$.

Son ordonnée est donc l'ordonnée à l'origine de $T_a$ :

Réponse : $g(a)=a^2\mathrm{e}^{-a}$.

Question 6. c)

La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u(a)=a^2$ et $v(a)=\mathrm{e}^{-a}$ :

Pour $a>0$, les facteurs $a$ et $\mathrm{e}^{-a}$ sont strictement positifs : $g'(a)$ a le signe de $2-a$.

• Pour $0<a<2$, $g'(a)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $[0;2]$.

• Pour $a>2$, $g'(a)<0$ : $g$ est strictement décroissante sur $[2;+\infty[$.

Donc $g$ admet un maximum en $a=2$, égal à $g(2)=4\mathrm{e}^{-2}$.

D'après la question 5, le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ a pour abscisse $2$.

Donc $g(a)$ est maximum lorsque $a=2$, c'est-à-dire lorsque A est le point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Points clés attendus

• Transformer $x\mathrm{e}^{-x}$ en $\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ et citer les croissances comparées pour la limite en $+\infty$, puis interpréter en asymptote.

• Citer la formule $(uv)'=u'v+uv'$ et justifier le signe de $f'$ par la positivité de $\mathrm{e}^{-x}$.

• Pour le nombre de solutions : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des deux intervalles de stricte monotonie, en vérifiant continuité, monotonie et position de $0{,}367$ par rapport aux bornes.

• Relier convexité et signe de $f''$ : le point d'inflexion correspond à un changement de signe de $f''$.

• Pour la question 6. c), étudier les variations de $g$ puis rapprocher le maximum de l'abscisse du point d'inflexion.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.