Bac 2023, Centres étrangers : exercice 4

Question. Le jeu peut-il être retenu ?

Modélisation.

On note $X$ le nombre de candidats qualifiés parmi les quatre.

Pour chaque candidat, la qualification est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p=0{,}6$.

La qualification ne dépend que du hasard : les quatre épreuves sont identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;0{,}6)$.

Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $4$ :

On obtient :

• $P(X=0)=0{,}4^4=0{,}0256$

• $P(X=1)=4\times0{,}6\times0{,}4^3=0{,}1536$

• $P(X=2)=6\times0{,}6^2\times0{,}4^2=0{,}3456$

• $P(X=3)=4\times0{,}6^3\times0{,}4=0{,}3456$

• $P(X=4)=0{,}6^4=0{,}1296$.

Vérification : $0{,}0256+0{,}1536+0{,}3456+0{,}3456+0{,}1296=1$.

Condition no 1.

La deuxième phase a lieu si et seulement si deux candidats au moins sont qualifiés, c'est-à-dire si $X\geqslant2$.

On passe par l'évènement contraire $\{X\leqslant1\}$ :

Or $0{,}8208\geqslant0{,}8$.

Donc la deuxième phase a lieu dans $82{,}08\,\%$ des cas, au moins $80\,\%$ : la condition no 1 est vérifiée.

Condition no 2.

On note $D$ la durée, en minutes, de la deuxième phase.

D'après le tableau, $D$ prend la valeur $0$ si $X\in\{0\,;1\}$, la valeur $5$ si $X=2$, la valeur $9$ si $X=3$ et la valeur $11$ si $X=4$.

La loi de $D$ est donc :

L'espérance de $D$ est

On calcule chaque terme : $5\times0{,}3456=1{,}728$, $9\times0{,}3456=3{,}1104$ et $11\times0{,}1296=1{,}4256$.

D'où

Or $6{,}264>6$.

Donc la durée moyenne de la deuxième phase est de $6{,}264$ minutes, supérieure à $6$ minutes : la condition no 2 n'est pas vérifiée.

Conclusion.

Le jeu n'est retenu que si les deux conditions sont vérifiées. La condition no 1 l'est, mais pas la condition no 2.

Donc le jeu ne peut pas être retenu.

Réponse : $P(X\geqslant2)=0{,}8208\geqslant0{,}8$ et $E(D)=6{,}264>6$ : le jeu ne peut pas être retenu.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;0{,}6)$ : quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}6$.

• Condition 1 : calculer $P(X\geqslant2)$ par l'évènement contraire et comparer à $0{,}8$.

• Condition 2 : donner la loi de la durée $D$ (regrouper $X=0$ et $X=1$ en $D=0$), puis calculer l'espérance.

• Conclure sur les deux conditions simultanément et répondre à la question posée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.