Bac 2023, Centres étrangers : exercice 1

Question 1. Réponse c.

Pour tout entier naturel $n$, on factorise le numérateur par $2^n$ et le dénominateur par $5^n$ :

Comme $-1<\dfrac25<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac25\right)^n=0$.

De même $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac15\right)^n=0$, donc le second facteur tend vers $\dfrac{1+0}{1+0}=1$.

Par produit de limites :

La suite converge donc vers $0$ : les propositions a, b et d sont fausses.

Donc la réponse est c : la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Réponse : c.

Question 2. Réponse b.

La fonction $f$ est le produit de $u(x)=x^2$ et $v(x)=\ln x$, dérivables sur $]0\,;+\infty[$, avec $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x>0$ :

On factorise par $x$ :

Donc la réponse est b.

Réponse : b.

Question 3. Réponse a.

D'après le tableau de variations, la fonction $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (de $-\infty$ à $+\infty$) et $h(1)=0$.

Donc $h(x)<0$ pour $x<1$ et $h(x)>0$ pour $x>1$.

La fonction $H$ est une primitive de $h$, donc $H'=h$.

Sur $]-\infty\,;1]$, on a $H'(x)=h(x)\leqslant0$ (avec égalité seulement en $1$) : la fonction $H$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$.

Pour $x\leqslant0$, on a $x\leqslant0\leqslant1$, donc, $H$ étant décroissante sur $]-\infty\,;1]$ :

Donc $H$ est positive sur $]-\infty\,;0]$.

Élimination des autres propositions :

• b est fausse : $H$ est décroissante, et non croissante, sur $]-\infty\,;1]$

• c est fausse : pour $x<0$, $H(x)>H(0)=0$ (la décroissance est stricte), donc $H$ prend des valeurs strictement positives sur $]-\infty\,;1]$

• d est fausse : $H$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$, donc non croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc la réponse est a : $H$ est positive sur $]-\infty\,;0]$.

Réponse : a.

Question 4. Réponse d.

Il s'agit de l'algorithme de dichotomie. Ses éléments attendus sont les suivants :

• le milieu $m=\dfrac{a+b}2$ doit être recalculé à chaque passage dans la boucle, donc à l'intérieur du while

• la boucle doit continuer tant que l'amplitude de l'intervalle n'est pas assez petite, c'est-à-dire tant que $|b-a|\geqslant0{,}001$

• la fonction $f$ étant strictement croissante et s'annulant en $\alpha$ : si $f(m)<0$, alors $f(m)<f(\alpha)$ donc $m<\alpha$ et on pose $a=m$   sinon $m\geqslant\alpha$ et on pose $b=m$.

Élimination des autres propositions :

• a : les affectations sont inversées (si $f(m)<0$, elle pose $b=m$)

• b : $m$ est calculé une seule fois avant la boucle, donc n'est jamais mis à jour

• c : même défaut que b, et la condition abs(b - a) <= 0.001 n'est pas la bonne.

Donc la réponse est d.

Réponse : d.

Question 5. Réponse d.

L'urne contient $10$ boules dont $7$ bleues et $3$ vertes. À chaque tirage, la probabilité d'obtenir une boule verte est $\dfrac3{10}$.

On répète $3$ fois la même épreuve de Bernoulli (tirer une boule et regarder si elle est verte, succès de probabilité $p=\dfrac3{10}$), et les tirages sont avec remise donc indépendants.

Le nombre $X$ de boules vertes obtenues suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3\,;\dfrac3{10}\right)$.

Pour $k=2$ :

C'est la proposition d, puisque $\left(\dfrac7{10}\right)=\left(\dfrac7{10}\right)^{1}$ et $\dbinom32=3$.

Les autres propositions sont fausses : a et b n'ont pas le bon nombre de facteurs ni le coefficient binomial, et c utilise $\dbinom{10}2$ alors que le nombre de tirages est $3$.

Donc la probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est $\dbinom32\left(\dfrac3{10}\right)^2\left(\dfrac7{10}\right)$.

Réponse : d.

Points clés attendus

• Limite d'un quotient de suites par factorisation des termes dominants, avec les limites de $q^n$ pour $-1<q<1$.

• Dérivée d'un produit avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$.

• Lien entre signe de $h$, variations de $H$ et valeur $H(0)=0$ pour justifier le signe de $H$.

• Dichotomie : recalcul de $m$ dans la boucle, condition d'arrêt, bonne affectation selon le signe de $f(m)$.

• Loi binomiale : $n=3$ épreuves de Bernoulli indépendantes, $p=\dfrac3{10}$, justifiées.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.