Bac 2023, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.

Donc, par composition, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ et, comme $2x\to-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{2x}=0$.

Par somme des limites :

Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1$.

Question 2.

Pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2$, donc

Quand $x\to+\infty$, on a $\mathrm{e}^{x}\to+\infty$, donc $\mathrm{e}^{x}-1\to+\infty$.

Par produit, $\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\to+\infty$, puis par somme avec la constante $1$ :

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.

Question 3.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{2x}$ est $x\mapsto2\mathrm{e}^{2x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x$, soit $u'\mathrm{e}^{u}$).

Donc, pour tout réel $x$,

Donc $g'(x)=\mathrm{e}^{x}\left(2\mathrm{e}^{x}-1\right)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Question 4.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ : le signe de $g'(x)$ est celui du facteur $2\mathrm{e}^{x}-1$.

On résout :

car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Donc $g'(x)<0$ pour $x<-\ln2$, $g'(-\ln2)=0$ et $g'(x)>0$ pour $x>-\ln2$.

On en déduit que $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-\ln2]$ et strictement croissante sur $[-\ln2\,;+\infty[$.

Valeur de l'extremum :

Tableau de variations : $g$ décroît de la limite $1$ (en $-\infty$) jusqu'à la valeur $\dfrac34$ atteinte en $-\ln2$, puis croît de $\dfrac34$ jusqu'à la limite $+\infty$ (en $+\infty$).

Donc $g$ admet un minimum égal à $\dfrac34$, atteint en $x=-\ln2$.

Réponse : minimum $g(-\ln2)=\dfrac34$.

Question 5.

D'après la question 4, pour tout réel $x$, on a $g(x)\geqslant\dfrac34$.

Or $\dfrac34>0$.

Donc $g(x)>0$ pour tout réel $x$.

Question 6.

On pose $X=\mathrm{e}^{x}$, avec $X>0$.

Alors $g(x)=X^2-X+1$ : c'est un trinôme du second degré en $X$.

Son discriminant est $\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=-3<0$, donc il n'a pas de racine réelle.

Son coefficient dominant est $1>0$ : le trinôme est donc du signe de $1$, c'est-à-dire strictement positif, pour tout réel $X$.

En particulier, il est strictement positif pour $X=\mathrm{e}^{x}$.

Donc on retrouve $g(x)>0$ pour tout réel $x$.

Partie B

Question 1.

La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est définie en $x$ si et seulement si $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}+1>0$, c'est-à-dire $g(x)>0$.

D'après la question 5 de la partie A, $g(x)>0$ pour tout réel $x$.

Donc la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

Question 2.

On a $f=\ln\circ g$, où $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive sur $\mathbb{R}$, et où $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et la formule de dérivation d'une composée $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ donne, pour tout réel $x$,

Question 3.

L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

On calcule :

Donc la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=x$.

Réponse : $y=x$.

Question 4.

D'après la question 2, $f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ avec $g(x)>0$ pour tout réel $x$ : le signe de $f'(x)$ est celui de $g'(x)$.

D'après la question 4 de la partie A, $g'(x)>0$ pour $x>-\ln2$.

Donc $f'(x)>0$ sur $]-\ln2\,;+\infty[$.

Une fonction dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle (sauf éventuellement en une extrémité) est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln2\,;+\infty[$.

Question 5.

Soit $I=[-\ln2\,;+\infty[$. On vérifie les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

• La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $I$.

• La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ (question 4).

• On a $f(-\ln2)=\ln\left(g(-\ln2)\right)=\ln\dfrac34<0$, car $\dfrac34<1$.

• On a $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{y\to+\infty}\ln y=+\infty$, donc par composition $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc $f$ réalise une bijection de $I$ sur $\left[\ln\dfrac34\,;+\infty\right[$, intervalle qui contient $2$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.

Valeur approchée : à la calculatrice, $f(1{,}12)\approx1{,}992<2$ et $f(1{,}13)\approx2{,}013>2$.

Comme $f$ est strictement croissante sur $I$, on obtient $1{,}12<\alpha<1{,}13$.

Une résolution plus fine donne $\alpha\approx1{,}1238$, donc $\alpha\approx1{,}12$ à $10^{-2}$ près.

Donc l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln2\,;+\infty[$, avec $\alpha\approx1{,}12$.

Réponse : $\alpha\approx1{,}12$ (à $10^{-2}$ près).

Partie C

Conjecture 1. Vraie.

D'après la question 5 de la partie B, l'équation $f(x)=2$ admet une solution $\alpha\approx1{,}12$ (unique sur $[-\ln2\,;+\infty[$).

Donc l'équation $f(x)=2$ admet au moins une solution : la conjecture est vraie.

Conjecture 2. Fausse.

Le signe de $f'(x)$ est celui de $g'(x)$ : $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;-\ln2[$ et $f'(x)>0$ sur $]-\ln2\,;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-\ln2]$ et strictement croissante sur $[-\ln2\,;+\infty[$.

Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est croissante est donc $[-\ln2\,;+\infty[$, avec $-\ln2\approx-0{,}69$.

Or $[-0{,}5\,;+\infty[$ est strictement contenu dans cet intervalle : la conjecture est fausse.

Conjecture 3. Fausse.

D'après la question 3 de la partie B, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=x$ (coefficient directeur $f'(0)=1$) et non $y=1{,}5x$ : la conjecture est fausse.

Points clés attendus

• Mettre $\mathrm{e}^{x}$ en facteur pour lever la forme indéterminée en $+\infty$, et citer limites de référence et composition.

• Justifier le signe de $g'$ (facteur $\mathrm{e}^{x}>0$) et en déduire le minimum $\dfrac34>0$ pour établir que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

• Utiliser la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ en précisant que $u=g$ est strictement positive.

• Pour l'unicité de $\alpha$ : citer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie, limites aux bornes et position de $2$.

• En partie C, justifier chaque conjecture par un résultat des parties précédentes, sans se contenter de la lecture graphique.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.