Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace / Annales du bac

Bac 2022, Métropole : exercice 4

9 septembre 2022 · jour 2 · 7 points

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ , on considère:

la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A(2   4   0) et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
la droite $\mathcal{D}'$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3\\ y&=& 3 + t\\ z&=&3 + t \end{array}\right. ,\, t \in \mathbb{R}$ .

1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u'}$ de la droite $\mathcal{D}'$ .
2. Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ .

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ . Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ .

On appellera M le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$ , et M $'$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}'$ .

On se propose de déterminer la distance MM $'$ appelée « distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ».

Montrer que le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ .
On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ , c'est-à-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ .
1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ .
2. En déduire qu'une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - y - 5z = 0$ .
3. On rappelle que M $'$ est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}'$ .
  
  Justifier que M $'$ est également le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$ .
  
  En déduire que les coordonnées du point M $'$ sont (3   1   1).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .
2. Justifier que le point M a pour coordonnées (1   2   0).
3. Calculer la distance MM $'$ .
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 5t\\y &=& 2 + 5t \\z&=&1 + t\end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$ .
1. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ .
2. On note $\ell$ la distance d'un point N de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$ .
  
  Exprimer le volume du tétraèdre ANMM $'$ en fonction de $\ell$ .
  
  On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
3. Justifier que, si N $_1$ et N $_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$ , les tétraèdres AN $_1$ MM $'$ et AN $_2$ MM $'$ ont le même volume.

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Question 1. a)

La représentation paramétrique de $\mathcal{D}'$ s'écrit

\left\{\begin{array}{l}x=3+0\times t\\y=3+1\times t\\z=3+1\times t\end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}.

Les coefficients de $t$ donnent un vecteur directeur de $\mathcal{D}'$ :

\vec{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.

Réponse : $\vec{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ .

Question 1. b)

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vec{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ sont colinéaires.

Supposons qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{u}=\lambda\vec{u'}$ . La première coordonnée donnerait $1=\lambda\times0=0$ , ce qui est impossible.

Donc $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.

Question 1. c)

La droite $\mathcal{D}$ passe par $A(2\,;4\,;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ .

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$ , c'est-à-dire s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ .

Donc une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est

\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=4+2t\\z=0\end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}.

Réponse : $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=4+2t\\z=0\end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}$ .

Question 2.

La droite $\Delta$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et à $\mathcal{D}'$ . Donc un vecteur directeur de $\Delta$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{u'}$ .

Montrons que $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ vérifie cette condition. Le vecteur $\vec{v}$ est non nul et

\begin{aligned} \vec{v}\cdot\vec{u}&=2\times1+(-1)\times2+1\times0=0,\\ \vec{v}\cdot\vec{u'}&=2\times0+(-1)\times1+1\times1=0. \end{aligned}

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ ne sont pas colinéaires (question 1. b)). L'ensemble des vecteurs orthogonaux à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{u'}$ est donc une droite vectorielle, c'est-à-dire que tous ces vecteurs sont colinéaires entre eux.

Or $\vec{v}$ est l'un d'eux et il est non nul. Comme un vecteur directeur de $\Delta$ en est un autre, il est colinéaire à $\vec{v}$ .

Donc $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ .

Question 3. a)

Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A$ et admet pour vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , qui ne sont pas colinéaires (leurs premières coordonnées sont $1$ et $2$ , et $\vec{v}\neq2\vec{u}$ car $-1\neq4$ ).

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ :

\begin{aligned} \vec{n}\cdot\vec{u}&=2\times1+(-1)\times2+(-5)\times0=2-2+0=0,\\ \vec{n}\cdot\vec{v}&=2\times2+(-1)\times(-1)+(-5)\times1=4+1-5=0. \end{aligned}

Le vecteur $\vec{n}$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ .

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ .

Question 3. b)

Le plan $\mathcal{P}$ admet pour vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ . Il admet donc une équation cartésienne de la forme

2x-y-5z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point $A(2\,;4\,;0)$ appartient à $\mathcal{P}$ , donc

2\times2-4-5\times0+d=0,\qquad\text{soit}\qquad d=0.

Vérification avec un autre point de $\mathcal{P}$ : le point $A+\vec{v}=(4\,;3\,;1)$ vérifie $8-3-5=0$ .

Donc une équation du plan $\mathcal{P}$ est $2x-y-5z=0$ .

Question 3. c)

La droite $\Delta$ est contenue dans le plan $\mathcal{P}$ , puisque $\mathcal{P}$ contient $\mathcal{D}$ et $\Delta$ . Comme $M'\in\Delta$ , on a $M'\in\mathcal{P}$ . Par ailleurs, $M'\in\mathcal{D}'$ .

Donc $M'$ est un point commun à $\mathcal{D}'$ et à $\mathcal{P}$ .

La droite $\mathcal{D}'$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ : en effet

\vec{n}\cdot\vec{u'}=2\times0+(-1)\times1+(-5)\times1=-6\neq0.

Donc

\mathcal{D}'

\mathcal{P}

ont un unique point d'intersection, et c'est

M'

Pour le déterminer, on considère un point $(3\,;3+t\,;3+t)$ de $\mathcal{D}'$ et on écrit qu'il appartient à $\mathcal{P}$ :

\begin{aligned} 2\times3-(3+t)-5(3+t)&=0\\ 6-3-t-15-5t&=0\\ -12-6t&=0\\ t&=-2. \end{aligned}

Pour $t=-2$ , on obtient le point $(3\,;1\,;1)$ .

Donc $M'$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et de $\mathcal{P}$ , et ses coordonnées sont $(3\,;1\,;1)$ .

Question 4. a)

La droite $\Delta$ passe par $M'(3\,;1\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ .

Donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est

\left\{\begin{array}{l}x=3+2s\\y=1-s\\z=1+s\end{array}\right.,\ s\in\mathbb{R}.

Réponse : $\left\{\begin{array}{l}x=3+2s\\y=1-s\\z=1+s\end{array}\right.,\ s\in\mathbb{R}$ .

Question 4. b)

Le point $M$ appartient à $\Delta$ et à $\mathcal{D}$ . Or tout point de $\mathcal{D}$ a pour cote $z=0$ .

Donc le paramètre $s$ de $M$ sur $\Delta$ vérifie $1+s=0$ , soit $s=-1$ .

On obtient alors

x=3+2\times(-1)=1,\qquad y=1-(-1)=2,\qquad z=0.

Vérification : le point $(1\,;2\,;0)$ appartient à $\mathcal{D}$ , pour $t=-1$ on trouve $(2-1\,;4-2\,;0)=(1\,;2\,;0)$ .

Donc $M$ a pour coordonnées $(1\,;2\,;0)$ .

Question 4. c)

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ :

\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix}3-1\\1-2\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}.

Le repère étant orthonormé,

MM'=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6.

Donc la distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ est $MM'=\sqrt6$ .

Réponse : $MM'=\sqrt6$ .

Question 5. a)

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}5\\5\\1\end{pmatrix}$ .

On calcule

\vec{n}\cdot\vec{w}=2\times5+(-1)\times5+(-5)\times1=10-5-5=0.

Le vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal de $\mathcal{P}$ : la droite $d$ est donc parallèle à $\mathcal{P}$ (strictement parallèle ou contenue dans $\mathcal{P}$ ).

Le point $(0\,;2\,;1)$ de $d$ (pour $t=0$ ) vérifie $2\times0-2-5\times1=-7\neq0$ : il n'appartient pas à $\mathcal{P}$ . Donc $d$ n'est pas contenue dans $\mathcal{P}$ .

Donc la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ (strictement).

Question 5. b)

On choisit pour base du tétraèdre $ANMM'$ le triangle $AMM'$ .

Les points $A$ et $M$ appartiennent à $\mathcal{D}$ , donc à $\mathcal{P}$ , et $M'\in\mathcal{P}$ . Le triangle $AMM'$ est donc contenu dans $\mathcal{P}$ .

La hauteur relative à cette base est la distance du sommet $N$ au plan $\mathcal{P}$ , soit $\ell$ .

Le triangle $AMM'$ est rectangle en $M$ : $\Delta$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$ en $M$ , donc $\overrightarrow{MM'}\cdot\overrightarrow{MA}=0$ . On a d'ailleurs $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ , d'où $2-2+0=0$ .

On calcule $MA=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt5$ et $MM'=\sqrt6$ .

L'aire de la base est

B=\dfrac12\times MA\times MM'=\dfrac12\sqrt5\times\sqrt6=\dfrac{\sqrt{30}}{2}.

D'après la formule $V=\dfrac13\times B\times h$ avec $h=\ell$ ,

V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt{30}}{2}\times\ell=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell.

Donc le volume du tétraèdre $ANMM'$ est $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell$ .

Réponse : $V=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell$ .

Question 5. c)

Soient $N_1$ et $N_2$ deux points quelconques de $d$ .

La droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ : tous ses points sont à la même distance de $\mathcal{P}$ . Les distances de $N_1$ et de $N_2$ à $\mathcal{P}$ sont donc égales à une même valeur $\ell$ .

D'après la question précédente, les volumes de $AN_1MM'$ et de $AN_2MM'$ sont tous deux égaux à $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell$ .

Donc les tétraèdres $AN_1MM'$ et $AN_2MM'$ ont le même volume.

Points clés attendus

Justifier la non-colinéarité de $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ pour conclure que les droites ne sont pas parallèles.
Pour $\vec{v}$ et $\vec{n}$ : calculer les produits scalaires et préciser que les deux vecteurs de référence sont non colinéaires.
Équation du plan : déterminer $d$ avec les coordonnées de $A$ .
Pour $M'$ : justifier qu'il est dans $\mathcal{P}$ (car $\Delta\subset\mathcal{P}$ ) et dans $\mathcal{D}'$ , puis résoudre l'équation en $t$ .
Volume : identifier la base $AMM'$ rectangle en $M$ , la hauteur $\ell$ , et citer la formule $V=\frac13\times B\times h$ .
Parallélisme de $d$ et $\mathcal{P}$ : produit scalaire nul avec le vecteur normal et point de $d$ hors du plan.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Métropole, 9 septembre 2022 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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