Bac 2022, Métropole : exercice 2

Question 1. Réponse b.

Pour tout entier naturel $n$, on a $b_n=a_n-2$, donc $a_n=b_n+2$ et

Donc la suite $(b_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ (et de premier terme $b_0=a_0-2=-1$).

Élimination des autres propositions. On a $a_0=1$, $a_1=0{,}5\times1+1=1{,}5$ et $a_2=0{,}5\times1{,}5+1=1{,}75$.

• a. est fausse : $a_1-a_0=0{,}5$ et $a_2-a_1=0{,}25$, ces différences ne sont pas égales, donc $(a_n)$ n'est pas arithmétique.

• c. est fausse : $\dfrac{a_1}{a_0}=1{,}5$ et $\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1{,}75}{1{,}5}=\dfrac76$, ces quotients ne sont pas égaux, donc $(a_n)$ n'est pas géométrique.

• d. est fausse : $b_0=-1$, $b_1=-0{,}5$ et $b_2=-0{,}25$, donc $b_1-b_0=0{,}5\neq b_2-b_1=0{,}25$ : $(b_n)$ n'est pas arithmétique.

Donc la bonne réponse est b.

Question 2. Réponse c.

On calcule les premiers termes à l'aide des relations de récurrence :

Alors

Élimination des autres propositions :

• a. est fausse : $u_2=14\neq5$

• b. est fausse : $u_2^2-3v_2^2=196-3\times64=196-192=4$, et $4\neq-2^2=-4$

• d. est fausse : $5u_1=25$ et $3v_1=9$.

Donc la bonne réponse est c.

Question 3. Réponse d.

Avant la boucle, les variables u et v valent $u_0=2$ et $v_0=1$.

À chaque passage dans la boucle :

• c = u mémorise l'ancienne valeur de u, c'est-à-dire $u_n$

• u = u + 3*v calcule $u_{n+1}=u_n+3v_n$

• v = c + v calcule $v_{n+1}=u_n+v_n$, grâce à la valeur $u_n$ mémorisée dans c.

Ainsi, à chaque passage, le couple (u, v) passe de $(u_n,v_n)$ à $(u_{n+1},v_{n+1})$.

L'instruction for k in range(1,11) fait varier k de $1$ à $10$ : la boucle s'exécute $10$ fois. Donc, à la sortie, u vaut $u_{10}$ et v vaut $v_{10}$.

Donc la fonction renvoie $u_{10}$ et $v_{10}$ : réponse d.

Question 4. Réponse b.

La fonction $f$ est deux fois dérivable. Elle est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$ (de façon équivalente, si $f''\geqslant0$ sur $I$).

On lit sur la courbe $\mathcal{C}'$ de $f'$ :

• $f'$ est croissante sur $[-4\,;0]$

• $f'$ est décroissante sur $[0\,;2]$ (le maximum de $f'$ est atteint en $0$).

Donc $f$ est convexe sur $[-4\,;0]$ et concave sur $[0\,;2]$.

Élimination des autres propositions :

• a. et c. sont fausses : sur $[-2\,;1]$, $f'$ est croissante sur $[-2\,;0]$ puis décroissante sur $[0\,;1]$, donc $f$ n'est ni convexe, ni concave sur tout cet intervalle

• d. est fausse : $f'$ est décroissante sur $[0\,;2]$, donc $f$ est concave et non convexe sur $[0\,;2]$.

Donc la bonne réponse est b.

Question 5. Réponse d.

Le nombre $f''(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}'$ de $f'$ au point d'abscisse $1$, c'est-à-dire en B.

On admet que cette tangente est la droite (BC), avec $B(1\,;0)$ et $C(0\,;5)$. Son coefficient directeur est

Donc $f''(1)=-5$.

Élimination des autres propositions : B est un point de $\mathcal{C}'$ situé sur l'axe des abscisses, donc $f'(1)=0$, ce qui rend a. et b. fausses. Enfin $f''(1)=-5<0$ rend c. fausse.

Donc la bonne réponse est d.

Question 6. Réponse b.

On pose $G(x)=\left(x^2-2x+3\right)\mathrm{e}^x$. La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et, avec $(uv)'=u'v+uv'$ où $u(x)=x^2-2x+3$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, et les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto G(x)+c$ avec $c\in\mathbb{R}$.

On veut $F(0)=1$. Or $G(0)=3\times\mathrm{e}^0=3$, donc $3+c=1$, soit $c=-2$.

Donc $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\mathrm{e}^x-2$ : réponse b.

Élimination des autres propositions : a. est la fonction $G$, qui vérifie $G(0)=3\neq1$   c. et d. sont fausses car la dérivée de $\left(\frac13x^3+x\right)\mathrm{e}^x$ contient un terme en $x^2\,\mathrm{e}^x$ et un terme $\left(\frac13x^3+x\right)\mathrm{e}^x$ qui ne se simplifient pas en $\left(x^2+1\right)\mathrm{e}^x$.

Points clés attendus

• Question 1 : prouver que $(b_n)$ est géométrique par le calcul de $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$, et non par quelques termes.

• Question 2 : calculer $u_2$ et $v_2$ pas à pas pour éliminer les autres propositions.

• Question 3 : comprendre le rôle de la variable c et compter correctement les passages de la boucle.

• Questions 4 et 5 : relier la convexité au sens de variation de $f'$ et $f''(1)$ au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}'$.

• Question 6 : vérifier une primitive par dérivation, puis utiliser la condition $F(0)=1$ pour fixer la constante.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.