Bac 2022, Métropole : exercice 4

Question 1. Réponse c.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ : sa courbe n'admet donc aucune asymptote verticale, ce qui exclut la proposition a.

On étudie la limite en $+\infty$ et en $-\infty$. Pour $x\neq 0$, on factorise par $x^2$ au numérateur et au dénominateur :

Lorsque $x\to\pm\infty$, on a $\dfrac3x\to 0$ et $\dfrac1{x^2}\to 0$, donc

La droite d'équation $y=-2$ est donc asymptote horizontale à la courbe en $\pm\infty$. Les droites $y=-1$ et $y=0$ ne le sont pas, puisque la limite vaut $-2$.

Question 2. Réponse d.

La fonction $x\mapsto\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}$ a pour dérivée, en utilisant la dérivée d'une composée $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2$ :

Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont donc les fonctions $F(x)=\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

La condition $F(0)=1$ donne $\dfrac12\,\mathrm{e}^{0}+C=1$, soit $C=\dfrac12$.

Donc $F(x)=\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}+\dfrac12$.

Les autres propositions sont à écarter :

• la proposition a vérifie $F(0)=0\neq 1$

• la proposition b vérifie $F(0)=\dfrac12\neq 1$

• la proposition c vérifie $F(0)=1$, mais sa dérivée est $2x(2x^2+1)\mathrm{e}^{x^2}+4x\,\mathrm{e}^{x^2}\neq f(x)$ : ce n'est pas une primitive de $f$.

Question 3. Réponse c.

La fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$.

On lit sur la courbe $\mathcal{C}_{f'}$ :

• $f'$ est croissante sur $[0\,;\,2]$ (elle passe de $-4$ en $0$ à $0$ en $2$), et même jusqu'au voisinage de $x=4$ où elle atteint son maximum

• $f'$ est ensuite décroissante.

Donc $f$ est convexe sur $[0\,;\,2]$ : la proposition c est vraie.

Les autres propositions sont fausses :

• a et b : $f'$ n'est ni décroissante ni croissante sur tout l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, donc $f$ n'y est ni concave ni convexe

• d : $f'$ est décroissante sur une partie de $[2\,;\,+\infty[$ (après son maximum), donc $f$ n'est pas convexe sur cet intervalle.

Question 4. Réponse a.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x^2}>0$, donc $f(x)=3\,\mathrm{e}^{-x^2}+2>2>0$.

Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $\mathbb{R}$. On a $F'=f$, donc $F'(x)>0$ pour tout réel $x$.

Une fonction dont la dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc toutes les primitives de $f$ sont croissantes sur $\mathbb{R}$. Les propositions b, c et d sont fausses.

Question 5. Réponse d.

Pour $x>0$, on met $x^2$ en facteur au dénominateur :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x}{x^2}=0$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{3+\frac1{x^2}}=\dfrac13$.

Par produit des limites :

Question 6. Réponse c.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2$. On pose $X=\mathrm{e}^{x}$, avec $X>0$. L'équation devient

Le discriminant est $\Delta=1^2-4\times 1\times(-12)=49$, donc les racines sont

La racine $X_1=-4$ est à rejeter, car $X=\mathrm{e}^{x}>0$.

Reste $\mathrm{e}^{x}=3$, soit $x=\ln 3$.

Donc l'équation admet une seule solution dans $\mathbb{R}$.

Points clés attendus

• Asymptote horizontale : calculer la limite en l'infini en factorisant, et ne pas confondre avec une asymptote verticale.

• Primitive : vérifier la dérivée de la proposition retenue et utiliser la condition initiale pour fixer la constante.

• Convexité : relier le signe de $f''$ au sens de variation de $f'$ lu sur la courbe.

• Limite en $+\infty$ : citer les croissances comparées de $\ln x$ et $x^2$.

• Équation en exponentielle : poser $X=\mathrm{e}^{x}$ et rejeter la racine négative.

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