Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 3

Question 1. Une diminution de $10\,\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac{10}{100}=0{,}9$.

Au début de l'année $2020+n$, l'effectif est $u_n$. Pendant l'année, il diminue de $10\,\%$ : il devient $0{,}9u_n$. À la fin de l'année, on réintroduit $100$ individus : l'effectif devient $0{,}9u_n+100$. C'est l'effectif au début de l'année $2020+n+1$.

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. On a $u_0=2000$, donc

Puis

Donc $u_1=1900$ et $u_2=1810$.

Réponse : $u_1=1900$ et $u_2=1810$.

Question 3. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=0{,}9x+100$, de sorte que $u_{n+1}=h(u_n)$. La fonction $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, car c'est une fonction affine de coefficient directeur $0{,}9>0$. Remarquons que $h(1000)=0{,}9\times 1000+100=1000$.

Initialisation. On a $u_0=2000$ et $u_1=1900$, donc $1000<1900\leqslant 2000$, c'est-à-dire $1000<u_1\leqslant u_0$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $1000<u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

On multiplie chaque membre de l'hypothèse de récurrence par $0{,}9>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On ajoute $100$ à chaque membre :

Or $0{,}9u_{k+1}+100=u_{k+2}$ et $0{,}9u_k+100=u_{k+1}$. Donc

c'est-à-dire que $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 4. D'après la question 3, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

D'après la même question, pour tout $n$, $u_{n+1}>1000$. De plus $u_0=2000>1000$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n>1000$ : la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $1000$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Question 5. a) Pour tout entier naturel $n$,

Donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0{,}9$, de premier terme $v_0=u_0-1000=2000-1000=1000$.

Question 5. b) Une suite géométrique de premier terme $v_0=1000$ et de raison $0{,}9$ vérifie, pour tout entier naturel $n$,

Comme $v_n=u_n-1000$, on a $u_n=v_n+1000$, donc

Question 5. c) Comme $-1<0{,}9<1$, on a

Donc, par somme puis produit,

Interprétation : à long terme, l'effectif de la population se stabilise autour de $1000$ individus.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1000$.

Question 6. a) On résout l'inéquation $u_n\leqslant 1020$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : on l'applique aux deux membres, qui sont strictement positifs.

Comme $0{,}9<1$, on a $\ln 0{,}9<0$ : on divise par $\ln 0{,}9$ en changeant le sens de l'inégalité.

Or $\dfrac{\ln 0{,}02}{\ln 0{,}9}\approx 37{,}13$. Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est donc $n=38$.

Vérification par le calcul des termes : $u_{37}\approx 1020{,}28>1020$ et $u_{38}\approx 1018{,}25\leqslant 1020$.

Donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant 1020$ est $38$.

Réponse : $n=38$.

Question 6. b) La variable $u$ doit être mise à jour tant que l'effectif n'est pas passé en dessous du seuil $S$, c'est-à-dire tant que $u>S$. À chaque passage dans la boucle, on calcule l'effectif de l'année suivante, $u\leftarrow 0{,}9u+100$, et on incrémente le nombre d'années $n$. La fonction renvoie ensuite $n$.

Programme complété :

def population(S):
    n = 0
    u = 2000
    while u > S:
        u = 0.9*u + 100
        n = n + 1
    return n

Vérification sur deux valeurs de $S$ avec les termes calculés plus haut :

• Pour $S=1900$ : au départ $u=2000>1900$, on passe dans la boucle, ce qui donne $u=1900$ et $n=1$. Comme $1900>1900$ est faux, la boucle s'arrête et la fonction renvoie $1$ (on a bien $u_1=1900\leqslant 1900$ et $u_0>1900$).

• Pour $S=1850$ : après un passage, $u=1900>1850$ et $n=1$   après un second passage, $u=1810$ et $n=2$   comme $1810>1850$ est faux, la fonction renvoie $2$.

Avec $S=1020$, la fonction renvoie $38$, en accord avec la question 6. a).

Points clés attendus

• Traduire la situation par la relation $u_{n+1}=0{,}9u_n+100$ (coefficient multiplicateur $0{,}9$, puis ajout de $100$).

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé », conclusion, en utilisant la croissance de $x\mapsto 0{,}9x+100$.

• Citer le théorème de la limite monotone en vérifiant les deux hypothèses (suite décroissante et minorée).

• Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique en calculant $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis en déduire $u_n$ et la limite.

• Résoudre l'inéquation avec le logarithme en pensant au changement de sens ($\ln 0{,}9<0$).

• Compléter l'algorithme : condition u > S, mise à jour de u et de n.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.