Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 2

Partie A

Question 1. On a

De même, comme $\ln\mathrm{e}=1$,

Donc $g(1)=0$ et $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2$.

Réponse : $g(1)=0$ et $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2\approx 0{,}718$.

Question 2. Pour tout $x>0$, on écrit

Par croissances comparées,

D'autre part,

Par somme des limites,

Donc la limite de $g$ en $0$ est $-2$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=-2$.

Question 3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle (fonctions affines et fonction $\ln$).

On dérive le produit $x\ln x$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$ :

Donc, pour tout $x>0$,

On étudie le signe de $g'(x)$ :

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc $g'(x)>0$ sur $]0\,;\mathrm{e}[$, $g'(\mathrm{e})=0$ et $g'(x)<0$ sur $]\mathrm{e}\,;+\infty[$.

On en déduit les variations de $g$.

• $g$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$, de limite $-2$ en $0$ jusqu'à la valeur $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2$.

• $g$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$, de la valeur $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2$ jusqu'à la limite $-\infty$ en $+\infty$ (limite admise par l'énoncé).

Donc $g$ admet un maximum en $\mathrm{e}$, égal à $\mathrm{e}-2$.

Question 4. On résout $g(x)=0$ sur chacun des deux intervalles de monotonie.

Sur $]0\,;\mathrm{e}]$. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}]$. Elle prend toutes les valeurs de l'intervalle $]-2\,;\mathrm{e}-2]$. Comme $-2<0<\mathrm{e}-2$ (car $\mathrm{e}>2$), le réel $0$ appartient à cet intervalle. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction continue strictement monotone), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0\,;\mathrm{e}]$. Or $g(1)=0$ et $1\in]0\,;\mathrm{e}]$, donc cette solution est $1$.

Sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. Elle prend toutes les valeurs de l'intervalle $]-\infty\,;\mathrm{e}-2]$, car $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$. Comme $0$ appartient à cet intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone) donne une unique solution $\alpha$ de $g(x)=0$ sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$. De plus $g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-2\neq 0$, donc $\alpha>\mathrm{e}$.

Les deux intervalles recouvrent $]0\,;+\infty[$ et les solutions $1$ et $\alpha$ sont distinctes (car $1<\mathrm{e}<\alpha$). Donc l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions : $1$ et $\alpha$, avec $\alpha\in[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

Encadrement de $\alpha$. À la calculatrice,

Donc $g(4{,}93)<g(\alpha)=0<g(4{,}92)$. Comme $g$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,;+\infty[$ et que $4{,}92$, $4{,}93$ et $\alpha$ appartiennent à cet intervalle, on en déduit

Donc l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions, $1$ et $\alpha$, avec $4{,}92<\alpha<4{,}93$.

Question 5. On utilise les variations de $g$ et les deux zéros $1$ et $\alpha$.

• Sur $]0\,;1[$ : $g$ est strictement croissante et $g(1)=0$, donc $g(x)<g(1)=0$.

• Sur $]1\,;\alpha[$ : $g$ est strictement positive. En effet, sur $]1\,;\mathrm{e}]$ elle est strictement croissante donc $g(x)>g(1)=0$, et sur $[\mathrm{e}\,;\alpha[$ elle est strictement décroissante donc $g(x)>g(\alpha)=0$.

• Sur $]\alpha\,;+\infty[$ : $g$ est strictement décroissante et $g(\alpha)=0$, donc $g(x)<0$.

Donc $g(x)<0$ sur $]0\,;1[\,\cup\,]\alpha\,;+\infty[$, $g(x)=0$ pour $x\in\{1\,;\alpha\}$ et $g(x)>0$ sur $]1\,;\alpha[$.

Partie B

Question 1. Pour tout $x>0$, on factorise par $x$, terme dominant, pour lever la forme indéterminée $+\infty-\infty$ :

Par croissances comparées,

donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0$.

D'autre part $\lim\limits_{x\to+\infty}(3-\ln x)=-\infty$.

Par somme, le facteur entre parenthèses a pour limite $-\infty$. Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$, on obtient par produit

Donc $f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 2. a) La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables. On utilise $(x\ln x)'=\ln x+1$ (question 3 de la partie A) :

On réduit au même dénominateur $x$ :

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.

Question 2. b) Pour tout $x>0$, on a $x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$. D'après la question 5 de la partie A :

• $f'(x)<0$ sur $]0\,;1[$ et sur $]\alpha\,;+\infty[$

• $f'(x)>0$ sur $]1\,;\alpha[$

• $f'$ s'annule en $1$ et en $\alpha$.

On en déduit les variations de $f$.

• $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$, de $+\infty$ (limite admise en $0$) à $f(1)=3$.

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\alpha]$, de $f(1)=3$ à $f(\alpha)$.

• $f$ est strictement décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$, de $f(\alpha)$ à $-\infty$ (question 1).

Valeur en $1$ : $f(1)=3\times 1-1\times\ln 1-2\ln 1=3$.

Valeur en $\alpha$ : comme $g(\alpha)=0$, on a $2(\alpha-1)=\alpha\ln\alpha$. Donc

Donc $f$ admet un minimum local $f(1)=3$ en $1$ et un maximum local $f(\alpha)\approx 3{,}73$ en $\alpha$.

Question 3. Pour tout $x>0$, $x^2>0$, donc $f''(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$ a le même signe que $2-x$.

• Sur $]0\,;2[$ : $2-x>0$, donc $f''(x)>0$ et $f$ est convexe sur $]0\,;2]$.

• Sur $]2\,;+\infty[$ : $2-x<0$, donc $f''(x)<0$ et $f$ est concave sur $[2\,;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en $2$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $2$.

Son ordonnée est

Donc $f$ est convexe sur $]0\,;2]$, concave sur $[2\,;+\infty[$, et le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ est $\left(2\,;6-4\ln 2\right)$.

Réponse : point d'inflexion $\left(2\,;6-4\ln 2\right)\approx(2\,;3{,}23)$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $0$ et en $+\infty$ par les croissances comparées, avec une factorisation propre.

• Calculer $g'$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ et en déduire les variations de $g$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de stricte monotonie, en vérifiant continuité, monotonie et signes aux bornes, pour conclure à l'existence et à l'unicité de $\alpha$.

• Faire le lien entre le signe de $f'$ et celui de $g$ (dénominateur $x>0$).

• Utiliser $g(\alpha)=0$ pour simplifier la valeur de $f(\alpha)$.

• Déduire convexité et point d'inflexion du signe de $f''$, avec changement de signe.

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