Fonction logarithme : exercices type bac

La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x>0$ : $g'(x)=2x+\dfrac1x>0$.

✅ Donc $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

De plus $g(1)=1-1+\ln1$.

✅ $g(1)=0$

Comme $g$ est strictement croissante et $g(1)=0$ : pour $0<x<1$, $g(x)<g(1)=0$ ; pour $x>1$, $g(x)>g(1)=0$.

✅ Donc $g(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

En $0^+$

$x\to0$, et $\dfrac{\ln x}x$ est le produit de $\ln x\to-\infty$ par $\dfrac1x\to+\infty$ : $\dfrac{\ln x}x\to-\infty$. Donc $-\dfrac{\ln x}x\to+\infty$ et, par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ (asymptote verticale $x=0$)

En $+\infty$

Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}x\to0$. Comme $x\to+\infty$, par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme différence de $x$ et du quotient $\dfrac{\ln x}x$. Pour tout $x>0$ :

✅ Donc $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.

Comme $x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. D'après la question 2 : $f'<0$ sur $]0\,;1[$, $f'(1)=0$ et $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Tableau de variations. $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$, de la limite $+\infty$ à $f(1)=1-0=1$. Puis strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, de $1$ à la limite $+\infty$.

✅ Le minimum de $f$ est $f(1)=1$.

Pour tout $x>0$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}x$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0$.

✅ Donc la droite $D$ d'équation $y=x$ est asymptote à $\mathcal C$ en $+\infty$.

Position relative

Pour $x>0$, le signe de $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}x$ est celui de $-\ln x$ : positif pour $0<x<1$ ($\ln x<0$), nul pour $x=1$, négatif pour $x>1$.

✅ Donc $\mathcal C$ est au-dessus de $D$ sur $]0\,;1[$, en dessous sur $]1\,;+\infty[$, et elles se coupent au point $(1\,;1)$.

Sur $]0\,;1]$

$f$ est continue et strictement décroissante, de $+\infty$ à $f(1)=1$.

Le nombre $2$ est compris entre $1$ et $+\infty$ (strictement).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$.

Sur $[1\,;+\infty[$

$f$ est continue et strictement croissante, de $1$ à $+\infty$.

Le nombre $2$ est compris entre $1$ et $+\infty$.

D'après le corollaire, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\beta$ dans $]1\,;+\infty[$.

Les deux intervalles sont disjoints et $f(1)=1\neq2$.

✅ L'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions $\alpha<\beta$.

Encadrements

$f(0{,}4)\approx2{,}69>2>f(0{,}5)\approx1{,}89$ et $f$ est décroissante sur $]0\,;1[$.

✅ $0{,}4<\alpha<0{,}5$

$f(2)\approx1{,}65<2<f(3)\approx2{,}63$ et $f$ est croissante sur $[1\,;+\infty[$.

✅ $2<\beta<3$

• Partie A : $g'>0$ justifiée, $g(1)=0$ calculé, signe de $g$ déduit de la stricte croissance.

• Q3 : les deux limites sont justifiées (produit avec $\ln x\to-\infty$ ; croissances comparées).

• Q4 : dérivée d'un quotient, calcul complet jusqu'à $\dfrac{g(x)}{x^2}$, tableau avec limites et minimum.

• Q5 : la limite de $f(x)-x$ est écrite, l'asymptote est conclue, la position relative est justifiée par le signe de $-\ln x$.

• Q6 : le corollaire est appliqué sur deux intervalles, avec $k$ strictement compris entre les valeurs, puis les encadrements sont justifiés par deux valeurs de $f$.

Le nombre initial est $N(0)=500\,e^0$.

✅ $N(0)=500$

La fonction $N$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et $N'(t)=500\times0{,}3\,e^{0{,}3t}=150\,e^{0{,}3t}>0$.

✅ Donc $N$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Pour $t\ge0$ :

$N(t)=10\,000\iff500\,e^{0{,}3t}=10\,000\iff e^{0{,}3t}=20\iff0{,}3\,t=\ln20\iff t=\dfrac{\ln20}{0{,}3}$

Comme $\dfrac{\ln20}{0{,}3}\approx9{,}99>0$, la solution est bien dans $[0\,;+\infty[$.

✅ La population atteint $10\,000$ bactéries au bout d'environ $9{,}99$ heures (soit environ $10$ heures).

Pour tout $t\ge0$ et tout $T>0$ :

Donc $N(t+T)=2N(t)\iff e^{0{,}3T}=2$ (car $N(t)>0$) $\iff0{,}3\,T=\ln2\iff T=\dfrac{\ln2}{0{,}3}$.

Cette valeur ne dépend pas de $t$.

✅ Le temps de doublement est $T=\dfrac{\ln2}{0{,}3}\approx2{,}31$ heures, quel que soit l'instant de départ.

D'après la question 1 : $N'(t)=500\times0{,}3\,e^{0{,}3t}=0{,}3\times\left(500\,e^{0{,}3t}\right)$.

✅ Donc $N'(t)=0{,}3\,N(t)$.

À l'instant $t=10$ : $N(10)=500\,e^3\approx10\,043$. Donc $N'(10)=0{,}3\times N(10)\approx3\,013$.

✅ La population croît d'environ $3\,013$ bactéries par heure à l'instant $t=10$.

from math import exp

def heures():
    t = 0
    while 500*exp(0.3*t) <= 1000000:
        t = t + 1
    return t

La boucle se termine car $N(t)\to+\infty$.

On cherche le plus petit entier $t$ tel que $500\,e^{0{,}3t}>10^6$. Soit $e^{0{,}3t}>2\,000$, soit $0{,}3\,t>\ln2\,000$, soit $t>\dfrac{\ln2\,000}{0{,}3}\approx25{,}34$.

✅ La fonction renvoie $26$.

• Q1 : $N(0)$ calculé, signe de $N'$ justifié.

• Q2 : équivalences successives, passage à $\ln$, vérification que $t\ge0$, réponse en contexte avec l'unité.

• Q3 : le calcul $N(t+T)=N(t)\,e^{0{,}3T}$ est écrit, l'indépendance vis-à-vis de $t$ est énoncée.

• Q4 : $N'=0{,}3\,N$ démontré, valeur numérique interprétée avec l'unité.

• Q5 : condition du while correcte, terminaison justifiée, valeur justifiée par un calcul avec $\ln$.

En $0^+$

Posons $X=\sqrt x\to0^+$. Alors $x(\ln x)^2=X^2(2\ln X)^2=4(X\ln X)^2$. Par croissances comparées, $X\ln X\to0$ quand $X\to0^+$. Par composition avec la fonction carré :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0$

En $+\infty$

$x\to+\infty$ et $(\ln x)^2\to+\infty$. Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit de $x$ et de $(\ln x)^2$. On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$, $v(x)=(\ln x)^2$, $v'(x)=\dfrac{2\ln x}x$.

Pour tout $x>0$ : $f'(x)=(\ln x)^2+x\times\dfrac{2\ln x}x=(\ln x)^2+2\ln x$.

✅ $f'(x)=\ln x\,(\ln x+2)$

Le signe de $f'(x)$ est celui du produit $\ln x\times(\ln x+2)$. Ses racines correspondent à $\ln x=0$ ($x=1$) et $\ln x=-2$ ($x=e^{-2}$). Il est positif si $\ln x<-2$ ou $\ln x>0$, négatif entre les deux.

Donc $f'>0$ sur $]0\,;e^{-2}[$, $f'<0$ sur $]e^{-2}\,;1[$, $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Tableau de variations. $f$ est strictement croissante sur $]0\,;e^{-2}]$ (de $0$ à $f\left(e^{-2}\right)=e^{-2}\times4=4e^{-2}\approx0{,}54$).

Puis strictement décroissante sur $\left[e^{-2}\,;1\right]$ (de $4e^{-2}$ à $f(1)=0$).

Puis strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ (de $0$ à $+\infty$).

La fonction $f'$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Avec $f'(x)=(\ln x)^2+2\ln x$ : $f''(x)=\dfrac{2\ln x}x+\dfrac2x$.

✅ $f''(x)=\dfrac{2(\ln x+1)}x$

Comme $x>0$, $f''(x)$ est du signe de $\ln x+1$, positif si $\ln x>-1$, soit $x>e^{-1}$.

✅ Donc $f$ est concave sur $\left]0\,;\dfrac1e\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac1e\,;+\infty\right[$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $\dfrac1e$, le point d'abscisse $\dfrac1e$ est un point d'inflexion. Et $f\left(\dfrac1e\right)=\dfrac1e\times(-1)^2=\dfrac1e$.

✅ Le point d'inflexion est $\left(\dfrac1e\,;\dfrac1e\right)$.

$f'\left(\dfrac1e\right)=\ln\dfrac1e\left(\ln\dfrac1e+2\right)=(-1)(-1+2)=-1$.

La tangente au point d'abscisse $\dfrac1e$ a pour équation :

✅ Elle a pour équation $y=-x+\dfrac2e$.

Sur $]0\,;1]$

D'après le tableau, $f(x)\le f\left(e^{-2}\right)=4e^{-2}\approx0{,}54<1$. Donc $f(x)=1$ n'a aucune solution sur $]0\,;1]$.

Sur $[1\,;+\infty[$

$f$ est continue et strictement croissante, de $0$ à $+\infty$.

Le nombre $1$ est compris entre $0$ et $+\infty$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\gamma$ dans $]1\,;+\infty[$, donc une unique solution dans $]0\,;+\infty[$.

Encadrement

$f(2)=2(\ln2)^2\approx0{,}96<1$

$f(2{,}1)=2{,}1\,(\ln2{,}1)^2\approx1{,}16>1$

Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ :

✅ $2<\gamma<2{,}1$

• Q1 : le changement de variable $X=\sqrt x$ est écrit, les croissances comparées sont citées.

• Q2 : dérivabilité, formule $(uv)'$ citée, factorisation, signe d'un produit de deux facteurs justifié, tableau avec limites et valeurs.

• Q3 : $f''$ calculée et factorisée, signe justifié, point d'inflexion avec ses deux coordonnées.

• Q4 : $f\left(\dfrac1e\right)$ et $f'\left(\dfrac1e\right)$ calculés avant d'écrire l'équation.

• Q5 : absence de solution sur $]0\,;1]$ justifiée par le maximum local, corollaire appliqué sur $[1\,;+\infty[$, encadrement justifié.