Dérivation et convexité : exercices type bac

En $-\infty$. Pour $x\neq0$, $x^2+x+1=x^2\left(1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\right)$, qui tend vers $+\infty$. De plus $e^{-x}\to+\infty$. Par produit :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$

En $+\infty$. Pour tout $x$, $f(x)=x^2e^{-x}+xe^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $x^2e^{-x}\to0$ et $xe^{-x}\to0$ ; de plus $e^{-x}\to0$. Par somme :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

Conséquence. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de $x\mapsto x^2+x+1$ et de $x\mapsto e^{-x}$, dérivables sur $\R$. On applique $(uv)'=u'v+uv'$, avec $u(x)=x^2+x+1$, $u'(x)=2x+1$, $v(x)=e^{-x}$, $v'(x)=-e^{-x}$.

Pour tout $x\in\R$ :

✅ $f'(x)=x(1-x)e^{-x}$

Comme $e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $x(1-x)$, trinôme de racines $0$ et $1$ et de coefficient dominant négatif. $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;0[$, $f'(x)>0$ sur $]0\,;1[$, $f'(x)<0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Tableau de variations. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$, de la limite $+\infty$ à $f(0)=1$. $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$, de $1$ à $f(1)=3e^{-1}\approx1{,}10$. $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$, de $\dfrac3e$ à la limite $0$.

La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ comme produit. Avec $f'(x)=(x-x^2)e^{-x}$ :

✅ $f''(x)=(x^2-3x+1)e^{-x}$

Comme $e^{-x}>0$, $f''(x)$ est du signe de $x^2-3x+1$.

Ce trinôme a pour discriminant $\Delta=9-4=5>0$.

Ses racines sont $x_1=\dfrac{3-\sqrt5}2\approx0{,}38$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt5}2\approx2{,}62$.

Son coefficient dominant est positif : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

✅ $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\dfrac{3-\sqrt5}2\right]$ et sur $\left[\dfrac{3+\sqrt5}2\,;+\infty\right[$, et concave sur $\left[\dfrac{3-\sqrt5}2\,;\dfrac{3+\sqrt5}2\right]$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_1$ et en $x_2$ :

✅ la courbe $\mathcal C$ admet deux points d'inflexion, d'abscisses $\dfrac{3-\sqrt5}2$ et $\dfrac{3+\sqrt5}2$.

Sur $]-\infty\,;0]$. La fonction $f$ est continue (dérivable) et strictement décroissante, de $+\infty$ à $f(0)=1$.

Le nombre $2$ appartient à $]1\,;+\infty[$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;0]$.

Sur $[0\,;+\infty[$. D'après le tableau, $f(x)\le f(1)=\dfrac3e$ pour tout $x\ge0$. Or $\dfrac3e<2$ (car $e>\dfrac32$). Donc $f(x)<2$ sur $[0\,;+\infty[$ : l'équation $f(x)=2$ n'y a aucune solution.

✅ Conclusion : l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$, et $\alpha<0$.

Encadrement.

$f(-1)=(1-1+1)e^1=e\approx2{,}72>2$

$f(-0{,}5)=0{,}75\,e^{0{,}5}\approx1{,}24<2$

Comme $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$, $f(-1)>2>f(-0{,}5)$ donne :

✅ $-1<\alpha<-0{,}5$

L'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$ est $y=f(0)+f'(0)(x-0)$. On a $f(0)=1$ et $f'(0)=0\times1\times e^0=0$.

✅ La tangente $T$ a pour équation $y=1$ : elle est horizontale.

• Q1 : les deux limites sont justifiées (produit ; croissances comparées puis somme), et l'asymptote est écrite avec sa limite.

• Q2 : dérivabilité, formule $(uv)'$ citée, factorisation par $e^{-x}$, signe du trinôme justifié, tableau avec limite et valeurs.

• Q3 : $f''$ calculée et factorisée, discriminant et racines, signe justifié, convexité et concavité énoncées, points d'inflexion à partir du changement de signe.

• Q4 : le corollaire est appliqué sur $]-\infty\,;0]$ et l'absence de solution sur $[0\,;+\infty[$ est justifiée par le maximum, puis l'encadrement est justifié par les deux valeurs et la stricte décroissance.

• Q5 : $f(0)$ et $f'(0)$ calculés avant d'écrire l'équation.

Pour tout $x$, $1+e^{-x}>0$ : $f$ est définie sur $\R$.

En $-\infty$. $-x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$, puis $1+e^{-x}\to+\infty$. Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$

En $+\infty$. $-x\to-\infty$, donc $e^{-x}\to0$, puis $1+e^{-x}\to1$. Par quotient :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$

Conséquence. La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $-\infty$. La droite d'équation $y=1$ l'est en $+\infty$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme inverse de la fonction $u:x\mapsto1+e^{-x}$, dérivable sur $\R$ et qui ne s'annule pas. On a $u'(x)=-e^{-x}$. Avec $\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ :

✅ $f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ pour tout $x\in\R$.

Comme $e^{-x}>0$ et $(1+e^{-x})^2>0$, on a $f'(x)>0$.

✅ La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$, de la limite $0$ en $-\infty$ à la limite $1$ en $+\infty$.

Pour tout $x\in\R$, $f(-x)=\dfrac1{1+e^x}$. D'autre part :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par $e^x>0$ : $1-f(x)=\dfrac1{e^x+1}=f(-x)$.

✅ Donc $f(-x)=1-f(x)$ pour tout $x$.

Ainsi $f(x)+f(-x)=1$ pour tout $x$. Le milieu du segment joignant $M(x\,;f(x))$ et $M'(-x\,;f(-x))$ a pour coordonnées $\left(0\,;\dfrac{f(x)+f(-x)}2\right)=\left(0\,;\dfrac12\right)$.

✅ Donc le point $I\left(0\,;\dfrac12\right)$ est centre de symétrie de $\mathcal C$.

La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec $f'(x)=e^{-x}(1+e^{-x})^{-2}$ :

✅ $f''(x)=\dfrac{e^{-x}(e^{-x}-1)}{(1+e^{-x})^3}$

Comme $e^{-x}>0$ et $(1+e^{-x})^3>0$, $f''(x)$ est du signe de $e^{-x}-1$. Or $e^{-x}>1\iff-x>0\iff x<0$. Donc $f''>0$ sur $]-\infty\,;0[$, $f''(0)=0$ et $f''<0$ sur $]0\,;+\infty[$.

✅ Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;0]$ et concave sur $[0\,;+\infty[$.

Comme $f''$ s'annule en changeant de signe en $0$, le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion. Comme $f(0)=\dfrac12$ :

✅ $I\left(0\,;\dfrac12\right)$ est le point d'inflexion (c'est aussi le centre de symétrie).

On a $f(0)=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$ et $f'(0)=\dfrac1{(1+1)^2}=\dfrac14$. La tangente au point d'inflexion a pour équation $y=\dfrac12+\dfrac14(x-0)$.

✅ $y=\dfrac x4+\dfrac12$

La courbe traverse cette tangente en $I$.

• Q1 : limites par composition et quotient, deux asymptotes avec leurs équations.

• Q2 : dérivabilité justifiée, formule $\left(\dfrac1u\right)'$ citée, signe justifié.

• Q3 : l'identité est démontrée en partant d'un membre ; la conclusion sur le centre de symétrie utilise le milieu de deux points symétriques.

• Q4 : $f''$ calculée avec soin, le signe de $e^{-x}-1$ est justifié par la croissance de l'exponentielle, le point d'inflexion est donné avec ses coordonnées.

• Q5 : $f(0)$ et $f'(0)$ calculés avant d'écrire l'équation.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=-e^{-x}$. Le point $A$ a pour coordonnées $(a\,;e^{-a})$, et $f'(a)=-e^{-a}$.

La tangente $T_a$ a pour équation :

✅ Donc $T_a:\ y=e^{-a}(1+a-x)$.

Le point $M$. C'est l'intersection de $T_a$ avec l'axe des abscisses ($y=0$) : $e^{-a}(1+a-x)=0$. Comme $e^{-a}\neq0$, cela équivaut à $x=1+a$.

✅ $M(1+a\,;0)$

Le point $N$. C'est l'intersection de $T_a$ avec l'axe des ordonnées ($x=0$) : $y=e^{-a}(1+a)$.

✅ $N\big(0\,;(1+a)e^{-a}\big)$

Comme $a>0$, $M$ est sur la demi-droite des abscisses positives et $N$ sur celle des ordonnées positives. Le triangle $OMN$ est rectangle en $O$. Son aire vaut $\dfrac12\times OM\times ON=\dfrac12\times(1+a)\times(1+a)e^{-a}$.

✅ Donc $S(a)=\dfrac12(1+a)^2e^{-a}$.

La fonction $S$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit. Avec $u(a)=(1+a)^2$, $u'(a)=2(1+a)$, $v(a)=e^{-a}$, $v'(a)=-e^{-a}$ :

✅ $S'(a)=\dfrac12(1+a)(1-a)e^{-a}$

Pour $a>0$, $\dfrac12$, $(1+a)$ et $e^{-a}$ sont strictement positifs, donc $S'(a)$ est du signe de $1-a$. $S'>0$ sur $]0\,;1[$, $S'(1)=0$ et $S'<0$ sur $]1\,;+\infty[$. Donc $S$ est strictement croissante sur $]0\,;1]$ et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

Conclusion. L'aire est maximale pour $a=1$, et vaut $S(1)=\dfrac12\times4\times e^{-1}$.

✅ L'aire maximale est $\dfrac2e\approx0{,}74$, atteinte pour $a=1$.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et $f''(x)=e^{-x}>0$.

✅ Donc $f$ est convexe sur $\R$.

Sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de $T_a$ : pour tout $x$, $e^{-x}\ge e^{-a}(1+a-x)$.

• Q1 : la formule de la tangente est écrite avec $f(a)$ et $f'(a)$ calculés.

• Q2 et Q3 : les coordonnées de $M$ et $N$ sont obtenues en résolvant $y=0$ puis $x=0$, et l'aire est justifiée par le triangle rectangle en $O$.

• Q4 : dérivation d'un produit citée, factorisation, signe justifié, conclusion en contexte : valeur de $a$ et valeur de l'aire.

• Q5 : la convexité est justifiée par $f''>0$, et le lien avec les tangentes est énoncé.