Bac 2025, Centres étrangers : exercice 4

Partie A

Question 1.

La fonction $h$ est constante sur $[0\,;+\infty[$, donc elle est dérivable et $h'(t)=0$ pour tout $t\geqslant0$.

Pour tout $t\geqslant0$ :

Or $\dfrac{1}{250}=0{,}004$. Donc

Donc la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

Question 2.

L'équation $y'+0{,}48y=0$ s'écrit $y'=-0{,}48\,y$, de la forme $y'=ay$ avec $a=-0{,}48$.

D'après le cours, les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $t\mapsto C\,\mathrm{e}^{at}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Donc les solutions de $y'+0{,}48y=0$ sont les fonctions

Question 3.

Soit $y$ une fonction dérivable sur $[0\,;+\infty[$. Comme $h$ est solution de $(E_1)$, on a :

Donc $y$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $y-h$ est solution de l'équation homogène, c'est-à-dire si et seulement s'il existe $C\in\mathbb{R}$ tel que $y-h=C\,\mathrm{e}^{-0{,}48t}$.

Donc l'ensemble des solutions de $(E_1)$ est l'ensemble des fonctions

Partie B

Question 1.

La fonction $p$ est dérivable et strictement positive sur $[0\,;+\infty[$, et $y=\dfrac1p$. Donc $y$ est dérivable (inverse d'une fonction dérivable qui ne s'annule pas) et

On suppose que $p$ est solution de $(E_2)$ : $p'=\dfrac{1}{250}\,p\,(120-p)$.

On remplace :

On sépare : $\dfrac{120-p}{p}=\dfrac{120}{p}-1=120\,y-1$. Donc

On en déduit

Donc $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

Question 2.

On suppose que $p$ est solution de $(E_2)$. D'après la question précédente, $y=\dfrac1p$ est solution de $(E_1)$.

D'après la question 3 de la partie A, il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant0$,

Comme $y$ est strictement positive, on peut écrire $p=\dfrac1y$ et, pour tout $t\geqslant0$ :

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $120$ :

On pose $K=120\,C$, qui est une constante réelle. Alors

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$, $p(t)=\dfrac{120}{1+K\,\mathrm{e}^{-0{,}48t}}$, avec $K$ réel.

Question 3.

On sait que $p(0)=30$.

D'après la forme précédente, comme $\mathrm{e}^{0}=1$ :

Donc $\dfrac{120}{1+K}=30$, soit $1+K=\dfrac{120}{30}=4$.

Donc $K=3$.

Réponse : $K=3$, soit $p(t)=\dfrac{120}{1+3\,\mathrm{e}^{-0{,}48t}}$.

Question 4.

On a $-0{,}48<0$, donc $\lim\limits_{t\to+\infty}-0{,}48\,t=-\infty$.

Or $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Par composition de limites :

Donc $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(1+3\,\mathrm{e}^{-0{,}48t}\right)=1$.

Par quotient :

Interprétation : $p$ est exprimée en milliers d'individus. Quand le temps devient grand, la population de bactéries se stabilise vers $120$ milliers, soit $120\,000$ bactéries : c'est la capacité maximale du milieu de culture, que la population approche sans la dépasser.

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}p(t)=120$, soit $120\,000$ bactéries.

Question 5.

On cherche le plus petit temps $t$ tel que la population dépasse $60\,000$ individus, soit $p(t)>60$ (en milliers).

Pour tout $t\geqslant0$, $1+3\,\mathrm{e}^{-0{,}48t}>0$. On résout :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc on peut l'appliquer aux deux membres, qui sont strictement positifs :

(On a divisé par $-0{,}48<0$, ce qui change le sens de l'inégalité.)

On calcule $\dfrac{\ln3}{0{,}48}\approx2{,}289$ heures.

On convertit la partie décimale en minutes : $0{,}289\times60\approx17{,}3$ minutes.

Donc la population dépasse $60\,000$ bactéries au bout d'environ $2$ heures et $17$ minutes.

Réponse : $t>\dfrac{\ln3}{0{,}48}\approx2{,}289$ h, soit environ $2$ h $17$ min.

Points clés attendus

• Vérifier que $h$ est solution en calculant $h'+0{,}48h$ et en retrouvant $\dfrac{1}{250}$.

• Solutions de $(E_1)$ : solution particulière plus solutions de l'équation homogène $y'=-0{,}48y$.

• Dérivée de l'inverse $y=\dfrac1p$ : $y'=-\dfrac{p'}{p^2}$, avec $p$ strictement positive.

• Passage de $y$ à $p=\dfrac1y$ et réécriture avec $K=120\,C$, puis détermination de $K$ avec $p(0)=30$.

• Limite en $+\infty$ par composition, avec interprétation en contexte (milliers de bactéries).

• Inéquation avec l'exponentielle : utiliser $\ln$ strictement croissante, attention au sens de l'inégalité, puis conversion des heures en minutes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.