Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 4

Partie A

Question 1. On choisit $a$ parmi les $60$ entiers de l'ensemble : $60$ possibilités.

On choisit ensuite $c$ sans remise parmi les $59$ entiers restants : $59$ possibilités.

Donc le nombre de couples $(a\,;c)$ est

Réponse : $3540$ couples.

Question 2. Comme $a$ est non nul, l'équation $ax^2+2x+c=0$ est une équation du second degré.

Son discriminant est

Une équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif. Donc $M$ est réalisé si et seulement si

Donc l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac<1$.

Question 3. D'après la question 2, $\overline{M}$ est l'évènement $ac\geqslant 1$.

Les entiers $a$ et $c$ sont non nuls, donc $ac$ est un entier non nul. Pour un entier non nul, $ac\geqslant 1$ équivaut à $ac>0$, c'est-à-dire à : $a$ et $c$ ont le même signe.

Cas où $a$ et $c$ sont strictement positifs. Il y a $30$ choix pour $a$ (parmi $1,\ldots,30$), puis $29$ choix pour $c$ (distinct de $a$) : $30\times 29=870$ couples.

Cas où $a$ et $c$ sont strictement négatifs. Il y a de même $30\times 29=870$ couples.

Ces deux cas sont incompatibles. Donc $\overline{M}$ comporte

Question 4. Les couples sont choisis au hasard : il y a équiprobabilité sur l'ensemble des $3540$ couples.

On a

Donc la probabilité que l'équation $ax^2+2x+c=0$ possède deux solutions réelles distinctes est d'environ $0{,}51$.

Réponse : $P(M)=\dfrac{30}{59}\approx 0{,}51$.

Partie B

Question 1. L'équation $y'+10y=0$ s'écrit $y'=-10y$.

Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-10x}$, où $C$ est un réel quelconque.

Réponse : $y(x)=C\mathrm{e}^{-10x}$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 2. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit d'une fonction polynôme et de la composée de l'exponentielle avec une fonction affine.

On utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=6x^2+2x-2$, $u'(x)=12x+2$, $v(x)=\mathrm{e}^{-5x+1}$ et $v'(x)=-5\mathrm{e}^{-5x+1}$ :

Donc, pour tout réel $x$ :

Cette expression est le second membre de $(E)$. Donc $f$ est une solution particulière de $(E)$.

Question 3. Les solutions de $(E)$ sont la somme d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène associée.

Donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions

Réponse : $y(x)=\left(6x^2+2x-2\right)\mathrm{e}^{-5x+1}+C\mathrm{e}^{-10x}$, $C\in\mathbb{R}$.

Partie C

Question 1. Limite du polynôme. On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(6x^2+2x-2\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}6x^2=+\infty$ (limite du terme de plus haut degré).

Limite de l'exponentielle. On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(-5x+1)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^X=+\infty$. Par composition, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-5x+1}=+\infty$.

Par produit :

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. Les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ont pour abscisses les solutions de $f(x)=0$.

Comme $\mathrm{e}^{-5x+1}>0$ pour tout réel $x$, un produit est nul si et seulement si le facteur polynomial est nul :

C'est une équation de la forme $ax^2+2x+c=0$ avec $a=6$ et $c=-2$. Ces deux entiers sont non nuls et compris entre $-30$ et $30$ : le couple $(6\,;-2)$ est un des couples de la partie A.

On a $ac=-12<1$, donc d'après la question 2 de la partie A, l'équation possède deux solutions réelles distinctes.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.

Question 3. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x$ si et seulement si $f'(x)=0$.

D'après la partie B, $f'(x)=\left(-30x^2+2x+12\right)\mathrm{e}^{-5x+1}$. L'exponentielle ne s'annule pas, donc

C'est une équation de la forme $ax^2+2x+c=0$ avec $a=-30$ et $c=12$, entiers non nuls compris entre $-30$ et $30$. On a $ac=-360<1$, donc l'équation possède deux solutions réelles distinctes d'après la partie A.

Donc $\mathcal{C}_f$ possède exactement deux tangentes horizontales.

Question 4. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\left(-30x^2+2x+12\right)\mathrm{e}^{-5x+1}$ avec $\mathrm{e}^{-5x+1}>0$. Le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $-30x^2+2x+12$.

Son discriminant est $\Delta=2^2-4\times(-30)\times 12=4+1440=1444=38^2>0$.

Ses racines sont

Le coefficient dominant $-30$ est négatif : le trinôme est strictement positif entre les racines et strictement négatif à l'extérieur. Donc :

• $f'(x)<0$ sur $\left]-\infty\,;-\dfrac35\right[$

• $f'(x)>0$ sur $\left]-\dfrac35\,;\dfrac23\right[$

• $f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac23\,;+\infty\right[$.

Valeurs aux extrema :

Tableau de variations de $f$, décrit en phrases :

• sur $\left]-\infty\,;-\dfrac35\right]$, $f$ est strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ jusqu'à $-\dfrac{26}{25}\mathrm{e}^4$

• sur $\left[-\dfrac35\,;\dfrac23\right]$, $f$ est strictement croissante de $-\dfrac{26}{25}\mathrm{e}^4$ jusqu'à $2\mathrm{e}^{-7/3}$

• sur $\left[\dfrac23\,;+\infty\right[$, $f$ est strictement décroissante de $2\mathrm{e}^{-7/3}$ jusqu'à la limite $0$ en $+\infty$ (limite admise).

Question 5. On étudie les solutions de $f(x)=1$ intervalle par intervalle.

Sur $\left]-\infty\,;-\dfrac35\right]$. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Elle prend toutes les valeurs comprises entre $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $f\left(-\dfrac35\right)\approx-56{,}78$, c'est-à-dire l'intervalle $\left[-\dfrac{26}{25}\mathrm{e}^4\,;+\infty\right[$. Ce dernier contient $1$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones), l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur cet intervalle.

Sur $\left[-\dfrac35\,;+\infty\right[$. La fonction $f$ est croissante puis décroissante, avec un maximum $f\left(\dfrac23\right)=2\mathrm{e}^{-7/3}\approx 0{,}194<1$. Donc $f(x)<1$ pour tout $x$ de cet intervalle : aucune solution.

Donc l'équation $f(x)=1$ admet exactement une solution sur $\mathbb{R}$.

Réponse : une seule solution.

Question 6. a) La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-\dfrac65x^2-\dfrac{22}{25}x+\dfrac{28}{125}$, $u'(x)=-\dfrac{12}{5}x-\dfrac{22}{25}$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-5x+1}$, $v'(x)=-5\mathrm{e}^{-5x+1}$ :

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Question 6. b) Pour $m>0{,}2$ :

On calcule $F(0{,}2)$ : l'exposant vaut $-5\times0{,}2+1=0$, donc l'exponentielle vaut $1$, et

Donc $I_m=F(m)$.

Comme $\mathrm{e}^{-5m+1}>0$, on a

(en multipliant par $-\dfrac{125}{2}$).

Le discriminant vaut $55^2+4\times75\times14=3025+4200=7225=85^2$.

Les racines sont

Aucune de ces racines n'est strictement supérieure à $0{,}2$ ($m_2=0{,}2$ est exclue). Donc il n'existe aucune valeur de $m>0{,}2$ pour laquelle $I_m=0$. De plus le trinôme $-\dfrac65m^2-\dfrac{22}{25}m+\dfrac{28}{125}$, de coefficient dominant négatif, est strictement négatif pour $m>\dfrac15$, donc $I_m<0$ pour tout $m>0{,}2$.

Interprétation graphique : $I_m$ est l'aire algébrique entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses pour $x$ compris entre $0{,}2$ et $m$. Sur $[0{,}2\,;m]$, la courbe est d'abord sous l'axe des abscisses (le trinôme $6x^2+2x-2$ est négatif jusqu'à sa racine positive $\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\approx0{,}43$), puis au-dessus. L'aire de la partie située au-dessus de l'axe ne compense jamais l'aire de la partie située en dessous : l'aire algébrique n'est jamais nulle.

Réponse : non, aucune valeur de $m>0{,}2$ ne convient ($I_m<0$).

Points clés attendus

• Dénombrer avec le principe multiplicatif et relier $M$ au signe du discriminant $4-4ac$.

• Réutiliser la partie A pour les questions 2 et 3 de la partie C en vérifiant que $(a\,;c)$ est un couple de l'ensemble de la partie A.

• Calculer la dérivée avec la formule $u'v+uv'$ et détailler la vérification de la solution particulière.

• Justifier le signe de $f'$ par le signe du trinôme, l'exponentielle étant strictement positive.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et valeurs aux bornes, puis écarter l'autre intervalle grâce au maximum.

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