Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 3

Partie A

Question 1. Sur le graphique, la courbe atteint son maximum pour une abscisse égale à $1$.

Donc la concentration est maximale environ $1$ heure après l'ingestion.

Réponse : environ $1$ heure.

Question 2. On cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation $y=1$ (ou sur cette droite). Par lecture graphique, la courbe coupe cette droite pour $t\approx 0{,}3$ puis pour $t\approx 2{,}5$, et elle est au-dessus entre ces deux valeurs.

Donc l'ensemble des solutions de $f(t)\geqslant 1$ est environ l'intervalle $[0{,}3\,;2{,}5]$.

Réponse : environ $[0{,}3\,;2{,}5]$.

Question 3. Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe est située sous ses tangentes, et convexe si elle est située au-dessus de ses tangentes.

Sur le graphique, la courbe est en forme de « cloche » (sous ses tangentes) jusqu'à $t\approx 2$, puis elle s'aplatit au-dessus de ses tangentes ensuite. Le changement de concavité (point d'inflexion) a lieu pour $t\approx 2$.

Donc $f$ est concave sur $[0\,;2]$ environ, puis convexe sur $[2\,;8]$ environ.

Réponse : concave sur $[0\,;2]$, convexe sur $[2\,;8]$.

Partie B

Question 1. L'équation $(E')$ s'écrit $y'=-y$, de la forme $y'=ay$ avec $a=-1$.

D'après le cours, les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $t\mapsto C\mathrm{e}^{at}$, avec $C$ réel.

Donc les solutions de $(E')$ sont les fonctions $t\mapsto C\mathrm{e}^{-t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 2. La fonction $u$ définie par $u(t)=at\mathrm{e}^{-t}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$, comme produit de fonctions dérivables.

On utilise la formule $(vw)'=v'w+vw'$ avec $v(t)=at$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-t}$ :

Donc

La fonction $u$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout $t\geqslant 0$, $a\mathrm{e}^{-t}=5\mathrm{e}^{-t}$. Comme $\mathrm{e}^{-t}\neq 0$, cela équivaut à $a=5$.

Donc $u$ est solution de $(E)$ si et seulement si $a=5$.

Réponse : $a=5$.

Question 3. D'après la question 2, la fonction $u_0:t\mapsto 5t\mathrm{e}^{-t}$ est une solution particulière de $(E)$.

Les solutions de $(E)$ sont les sommes de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène $(E')$ (question 1).

Donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des fonctions

Question 4. La fonction $f$ est solution de $(E)$ : il existe donc un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant 0$, $f(t)=(5t+C)\mathrm{e}^{-t}$.

On a $f(0)=0$ et $f(0)=(5\times 0+C)\mathrm{e}^{0}=C$, donc $C=0$.

Donc, pour tout $t\geqslant 0$, $f(t)=5t\mathrm{e}^{-t}$.

Réponse : $f(t)=5t\mathrm{e}^{-t}$.

Partie C

Question 1. Pour $t>0$, on écrit

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}=+\infty$, donc $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}}=0$.

Par produit par la constante $5$ :

Donc la concentration du médicament dans le sang tend vers $0$ lorsque le temps augmente : à long terme, le médicament est éliminé du sang.

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0$.

Question 2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables.

On utilise $(vw)'=v'w+vw'$ avec $v(t)=5t$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-t}$ :

Pour tout réel $t$, $5\mathrm{e}^{-t}>0$. Donc $f'(t)$ a le signe de $1-t$ :

• pour $0\leqslant t<1$, $f'(t)>0$

• $f'(1)=0$

• pour $t>1$, $f'(t)<0$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$ et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

Valeurs et limite : $f(0)=0$, $f(1)=5\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{5}{\mathrm{e}}\approx 1{,}84$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0$.

Tableau de variations : $f$ passe de $0$ (en $t=0$) à son maximum $\dfrac{5}{\mathrm{e}}\approx 1{,}84$ (en $t=1$), puis décroît vers $0$ en $+\infty$.

Donc $f$ admet un maximum égal à $\dfrac{5}{\mathrm{e}}\approx 1{,}84$ g/L, atteint pour $t=1$.

Question 3. On résout $f(t)=1$ sur chacun des deux intervalles de monotonie.

Sur $[0\,;1]$ : $f$ est continue (car dérivable), strictement croissante, $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac{5}{\mathrm{e}}\approx 1{,}84$. Comme $0<1<\dfrac{5}{\mathrm{e}}$, le réel $1$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(t)=1$ admet une unique solution $t_1\in[0\,;1]$.

Sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ est continue, strictement décroissante, avec $f(1)=\dfrac{5}{\mathrm{e}}>1$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0<1$. Le réel $1$ est donc compris entre $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)$ et $f(1)$. D'après le même théorème, l'équation $f(t)=1$ admet une unique solution $t_2\in[1\,;+\infty[$.

Donc il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t_1)=f(t_2)=1$.

À la calculatrice, on a $f(0{,}25)\approx 0{,}974<1<f(0{,}26)\approx 1{,}002$ et $f(2{,}54)\approx 1{,}0016>1>f(2{,}55)\approx 0{,}9955$, donc, arrondis au centième,

Réponse : $t_1\approx 0{,}26$ et $t_2\approx 2{,}54$.

Question 4. Le risque de somnolence existe lorsque $f(t)\geqslant 1$. D'après les variations de $f$ et la question 3, cela se produit exactement pour $t\in[t_1\,;t_2]$.

La durée du risque est $t_2-t_1\approx 2{,}28$ heures.

On convertit : $0{,}28\times 60\approx 17$ minutes. (Avec les valeurs non arrondies, $t_2-t_1\approx 2{,}2835$ h, soit environ $137$ minutes.)

Donc le risque de somnolence dure environ $2$ heures et $17$ minutes.

Réponse : environ $2$ h $17$ min.

Partie D

La fonction $f:t\mapsto 5t\mathrm{e}^{-t}$ est continue sur $[0\,;1]$, donc l'intégrale existe.

On cherche une primitive. On pose $G(t)=-5(t+1)\mathrm{e}^{-t}$. Elle est dérivable et, avec $(vw)'=v'w+vw'$ :

Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;1]$.

Alors

Valeur approchée : $T_m\approx 1{,}32$ (arrondie à $0{,}01$ près).

Donc la concentration moyenne du médicament durant la première heure est $5-\dfrac{10}{\mathrm{e}}\approx 1{,}32$ g/L.

Réponse : $T_m=5-\dfrac{10}{\mathrm{e}}\approx 1{,}32$.

Points clés attendus

• Partie A : lectures graphiques annoncées comme approchées, sans justification.

• Équation différentielle : solution de l'équation homogène, solution particulière, puis somme, et condition initiale pour déterminer la constante.

• Limite en $+\infty$ par le théorème des croissances comparées, avec interprétation dans le contexte.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie et signes aux bornes vérifiés sur chacun des deux intervalles, d'où existence et unicité.

• Primitive vérifiée par dérivation, puis calcul de l'intégrale avec la valeur exacte avant l'arrondi.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.