Bac 2024, Métropole : exercice 4

Affirmation 1. Fausse.

D'après le tableau de variations, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\;;\;-2[$ à partir de la valeur $5$ : on lit $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=5$.

Sur $]1\;;\;+\infty[$, $f$ est strictement décroissante de $3$ vers $1$ : on lit $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes horizontales : la droite d'équation $y=5$ au voisinage de $-\infty$ et la droite d'équation $y=1$ au voisinage de $+\infty$.

Aucune limite de $f$ en $\pm\infty$ n'est égale à $-2$.

Donc la droite d'équation $y=-2$ n'est pas asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ : l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. Fausse.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=5$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(f(x)-5\right)=0$ : on est en présence du quotient d'une constante non nulle par une quantité de limite nulle, il faut déterminer le signe de $f(x)-5$.

Sur $]-\infty\;;\;-2[$, la fonction $f$ est strictement décroissante et sa limite en $-\infty$ est $5$. Donc pour tout $x<-2$, $f(x)<5$, c'est-à-dire $f(x)-5<0$.

Ainsi $f(x)-5\to0$ par valeurs strictement négatives, notée $0^-$.

Par quotient, $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{f(x)-5}=-\infty$.

Donc la limite n'est pas $+\infty$ : l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

La fonction $g$ définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ (produit et composée de fonctions dérivables).

On dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ où $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, de dérivées $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ :

On dérive à nouveau avec $u(x)=1-x$ (de dérivée $-1$) et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ :

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $g''(x)$ est du signe de $x-2$ :

• $g''(x)<0$ pour $x<2$, donc $g$ est concave sur $]-\infty\;;\;2]$

• $g''(x)>0$ pour $x>2$, donc $g$ est convexe sur $[2\;;\;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x=2$ et uniquement en $x=2$ : la courbe $\mathcal{C}_g$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $2$.

Son ordonnée est $g(2)=2\mathrm{e}^{-2}=\dfrac{2}{\mathrm{e}^2}$.

Donc le point A$\left(2\;;\;\dfrac{2}{\mathrm{e}^2}\right)$ est l'unique point d'inflexion de $\mathcal{C}_g$ : l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Pour tout réel $x$, on étudie le signe de

On distingue les cas suivants pour $x\in]-\infty\;;\;2[$.

• Si $x<0$ : $-x>0$ et la fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^{-x}>\mathrm{e}^0=1$, soit $\mathrm{e}^{-x}-1>0$. Le produit $x\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)$ est celui d'un nombre négatif et d'un nombre positif : $g(x)-x<0$.

• Si $x=0$ : $g(0)-0=0$.

• Si $0<x<2$ : $-x<0$, donc $\mathrm{e}^{-x}<\mathrm{e}^0=1$, soit $\mathrm{e}^{-x}-1<0$. Le produit de deux nombres, l'un positif et l'autre négatif, est négatif : $g(x)-x<0$.

Dans chaque cas $g(x)-x\leqslant0$.

Donc pour tout $x\in]-\infty\;;\;2[$, $g(x)\leqslant x$ : l'affirmation 4 est vraie (elle l'est même sur $\mathbb{R}$ tout entier).

Affirmation 5. Fausse.

On pose $h(x)=x\ln x-1$ sur $]0\;;\;+\infty[$ : l'équation $x\ln x=1$ équivaut à $h(x)=0$.

La fonction $h$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$, et avec $(uv)'=u'v+uv'$ ($u(x)=x$, $v(x)=\ln x$) :

On a $h'(x)>0\iff\ln x>-1\iff x>\dfrac1{\mathrm{e}}$.

Sur $]0\;;\;1]$. On a $\ln x\leqslant0$ et $x>0$, donc $x\ln x\leqslant0$ et $h(x)\leqslant-1<0$ : l'équation $h(x)=0$ n'a pas de solution sur $]0\;;\;1]$.

Sur $[1\;;\;+\infty[$. Comme $\dfrac1{\mathrm{e}}<1$, on a $h'(x)>0$ sur cet intervalle : $h$ est continue et strictement croissante sur $[1\;;\;+\infty[$.

De plus $h(1)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions de limite $+\infty$, puis somme avec $-1$).

Donc $0\in\left[h(1)\;;\;+\infty\right[$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue strictement monotone), l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution sur $[1\;;\;+\infty[$, qui vaut environ $1{,}763$.

Donc l'équation $x\ln x=1$ admet exactement une solution sur $]0\;;\;+\infty[$ et non deux : l'affirmation 5 est fausse.

Points clés attendus

• Lire dans le tableau de variations les limites en $\pm\infty$ pour décider de l'asymptote horizontale.

• Pour l'affirmation 2, déterminer le signe de $f(x)-5$ avant de conclure sur la limite (quotient par $0^-$).

• Calculer $g''$ et étudier son signe : un point d'inflexion exige un changement de signe de $g''$.

• Pour l'affirmation 4, étudier le signe de $g(x)-x$ en distinguant les cas $x<0$, $x=0$ et $0<x<2$.

• Pour l'affirmation 5, citer le théorème des valeurs intermédiaires (continuité, stricte monotonie, signes aux bornes) et traiter à part l'intervalle où $h$ est négative.

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