Bac 2024, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

a) La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (admis). On dérive $x\mapsto\ln\left(x^2+1\right)$ comme composée $\ln(u)$ avec $u(x)=x^2+1$, de dérivée $u'(x)=2x$ et $u>0$ sur $\mathbb{R}$ : la formule $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ donne

On met au même dénominateur :

On reconnaît l'identité remarquable $x^2-2x+1=(x-1)^2$, donc pour tout réel $x$ :

b) Pour tout réel $x$, on a $(x-1)^2\geqslant0$ (un carré) et $x^2+1>0$.

Donc $f'(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$, et $f'(x)=0$ si et seulement si $x=1$.

La dérivée est positive sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule qu'en un seul point : la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question 2.

Soit $x>0$. On factorise $x^2$ dans $x^2+1$ :

Les deux facteurs sont strictement positifs, donc on peut appliquer la propriété $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ :

On en déduit, pour tout $x>0$ :

Question 3.

Pour $x>0$, on factorise $x$ dans les deux premiers termes de l'expression de la question 2 (la forme $+\infty-\infty$ est indéterminée) :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)=1$.

Par produit, avec $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$ :

D'autre part, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$.

Par composition avec la fonction $\ln$, continue en $1$, on obtient $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=\ln1=0$.

Par somme des limites :

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Partie B

Question 1.

On note $P(n)$ la propriété : $u_n\geqslant0$.

Initialisation. On a $u_0=7\geqslant0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\geqslant0$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $u_{k+1}\geqslant0$.

D'après la partie A, la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. On applique $f$ aux deux membres de l'inégalité $u_k\geqslant0$ en conservant le sens :

Or $f(0)=0-\ln\left(0^2+1\right)=-\ln1=0$ et $f(u_k)=u_{k+1}$, donc $u_{k+1}\geqslant0$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $u_n\geqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$ :

On a $u_n^2\geqslant0$, donc $u_n^2+1\geqslant1$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ et $\ln1=0$, donc $\ln\left(u_n^2+1\right)\geqslant0$.

Donc $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3.

La suite $(u_n)$ est décroissante (question 2) et minorée par $0$ (question 1).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 4.

On note $\ell$ la limite de $(u_n)$. Alors $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\ell$.

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle est dérivable) et $u_{n+1}=f(u_n)$ : en passant à la limite, $\ell=f(\ell)$.

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est $\ell=0$.

Réponse : $\ell=0$.

Question 5.

a) Tant que $u>h$, on n'a pas encore atteint le seuil : on augmente $n$ de $1$ et on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right)$.

from math import log as ln

def seuil(h):
    n = 0
    u = 7
    while u > h:
        n = n+1
        u = u - ln(u**2 + 1)
    return n

La suite est décroissante, donc dès que $u_n\leqslant h$, on a aussi $u_m\leqslant h$ pour tout $m\geqslant n$ : la fonction renvoie bien le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant h$.

b) Comme $(u_n)$ est décroissante de limite $0$ et que $0{,}01>0$, il existe un rang à partir duquel $u_n\leqslant0{,}01$ : la boucle s'arrête.

Le calcul des termes avec le script donne

La suite étant décroissante, $u_n>0{,}01$ pour tout $n\leqslant96$ et $u_n\leqslant0{,}01$ pour tout $n\geqslant97$.

Donc seuil(0.01) renvoie $97$.

Réponse : seuil(0.01) renvoie $97$.

Partie C

Question 1.

On a $f(0)=0-\ln1=0$.

D'après la partie A, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Donc pour tout $x>0$, on a $f(x)>f(0)=0$.

Donc $f(0)=0$ et $f(x)>0$ pour tout $x>0$ : la fonction $f$ est positive sur $[0\;;\;+\infty[$, et ne s'annule qu'en $0$.

Question 2.

La fonction $f$ est continue sur $[2\;;\;4]$ et positive sur cet intervalle (question 1).

Donc l'intégrale $I=\displaystyle\int_2^4f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=4$.

Question 3.

Pour tout $x\in[2\;;\;4]$, on a $0{,}5x-1\leqslant f(x)\leqslant0{,}25x+0{,}25$ (admis).

Ces trois fonctions sont continues sur $[2\;;\;4]$ et les bornes sont dans l'ordre croissant ($2<4$) : par croissance de l'intégrale,

Une primitive de $x\mapsto0{,}5x-1$ est $x\mapsto0{,}25x^2-x$, donc

Une primitive de $x\mapsto0{,}25x+0{,}25$ est $x\mapsto0{,}125x^2+0{,}25x$, donc

Donc $1\leqslant I\leqslant2$.

Points clés attendus

• Dériver $\ln\left(x^2+1\right)$ comme une composée, puis reconnaître $(x-1)^2$   conclure à la stricte croissance malgré l'annulation en $x=1$.

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ par factorisation et croissances comparées.

• Rédiger la récurrence complète en citant la croissance de $f$, avec $f(0)=0$.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis passer à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ en justifiant la continuité de $f$.

• Compléter le script (condition u > h, mise à jour de u) et justifier la valeur $97$ par les termes $u_{96}$ et $u_{97}$.

• Interpréter l'intégrale comme une aire après avoir justifié la positivité de $f$, puis intégrer l'encadrement.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.