Bac 2024, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1. a) Limite en $0$.

On a $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac12\ln x=-\infty$.

De plus, $\lim\limits_{x\to0^+}(x-2)=-2$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$.

Limite en $+\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac12\ln x=+\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

b) La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Pour tout $x>0$,

On met au même dénominateur :

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.

c) Pour tout $x>0$, on a $2x+1>0$ et $2x>0$.

Donc $f'(x)>0$ pour tout $x>0$ (quotient de deux nombres strictement positifs).

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

d) La fonction $f'$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On utilise l'expression $f'(x)=1+\dfrac1{2x}$.

Pour tout $x>0$,

On a $2x^2>0$, donc $f''(x)<0$ sur $]0\,;+\infty[$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative est concave.

Donc la fonction $f$ est concave sur $]0\,;+\infty[$.

Question 2. a) On applique le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues strictement monotones) sur $[1\,;2]$.

Hypothèses :

• $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, donc continue sur $[1\,;2]$

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;2]$ (question 1.c)

• $f(1)=1-2+\dfrac12\ln1=-1<0$ et $f(2)=2-2+\dfrac12\ln2=\dfrac12\ln2>0$, donc $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[1\,;2]$, notée $\alpha$.

Comme $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, elle prend chaque valeur au plus une fois sur cet intervalle : il n'y a pas d'autre solution en dehors de $[1\,;2]$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$, et $\alpha\in[1\,;2]$.

b) La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$.

Si $0<x<\alpha$, alors $f(x)<f(\alpha)=0$.

Si $x>\alpha$, alors $f(x)>f(\alpha)=0$.

Donc $f(x)<0$ sur $]0\,;\alpha[$, $f(\alpha)=0$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

c) On a $f(\alpha)=0$, donc

Donc $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.

Partie B

Question 1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;1]$.

Le terme $x^2\ln x$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=\ln x$, de dérivée $u'v+uv'=2x\ln x+x^2\times\dfrac1x=2x\ln x+x$.

Pour tout $x\in]0\,;1]$,

On regroupe : $-\dfrac74x-\dfrac14x=-2x$, donc

D'autre part, pour $x>0$, $\ln\dfrac1x=-\ln x$, donc

En multipliant par $x$,

Donc, pour tout $x\in]0\,;1]$, $g'(x)=xf\left(\dfrac1x\right)$.

Réponse : $g'(x)=1-2x-\dfrac12x\ln x=xf\left(\dfrac1x\right)$.

Question 2. a) Soit $x\in\left]0\,;\dfrac1\alpha\right[$. La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$, donc $0<x<\dfrac1\alpha$ entraîne $\dfrac1x>\alpha$.

D'après la question A.2.b, $f(t)>0$ pour tout $t>\alpha$.

Donc, pour tout $x\in\left]0\,;\dfrac1\alpha\right[$, $f\left(\dfrac1x\right)>0$.

b) Pour tout $x\in]0\,;1]$, $x>0$, donc $g'(x)=xf\left(\dfrac1x\right)$ a le signe de $f\left(\dfrac1x\right)$.

D'après le tableau de signes admis :

• $g'(x)>0$ sur $\left]0\,;\dfrac1\alpha\right[$

• $g'\left(\dfrac1\alpha\right)=0$

• $g'(x)<0$ sur $\left]\dfrac1\alpha\,;1\right]$.

Donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\dfrac1\alpha\right]$, puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac1\alpha\,;1\right]$.

Elle admet donc un maximum atteint en $x=\dfrac1\alpha$.

Partie C

Question 1. a) Pour tout $x\in]0\,;1]$,

Sur $]0\,;1]$, on a $\ln x\leqslant0$ et $x^2>0$, donc $-\dfrac14x^2\ln x\geqslant0$.

Cette différence ne s'annule que pour $\ln x=0$, c'est-à-dire $x=1$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de la parabole $\mathcal{P}$ sur $]0\,;1]$, et les deux courbes ne se rencontrent qu'au point d'abscisse $1$.

b) On calcule $\displaystyle\int_{1/\alpha}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x$ par intégration par parties.

On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x^2$, d'où $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{x^3}{3}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[\dfrac1\alpha\,;1\right]\subset]0\,;+\infty[$.

On obtient

Une primitive de $\dfrac{x^2}{3}$ est $\dfrac{x^3}{9}$, donc

En $x=1$ : $\dfrac13\ln1-\dfrac19=-\dfrac19$.

En $x=\dfrac1\alpha$ : $\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln\dfrac1\alpha-\dfrac{1}{9\alpha^3}=-\dfrac{\ln\alpha}{3\alpha^3}-\dfrac1{9\alpha^3}$.

Donc

On utilise $\ln\alpha=2(2-\alpha)=4-2\alpha$ :

On met tout sur le dénominateur $9\alpha^3$, avec $-\dfrac19=-\dfrac{\alpha^3}{9\alpha^3}$ :

Donc $\displaystyle\int_{1/\alpha}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$.

Question 2. Comme $1\leqslant\alpha\leqslant2$ et $\alpha\neq1$ (car $f(1)=-1\neq0$), on a $0<\dfrac1\alpha<1$ : l'intervalle $\left[\dfrac1\alpha\,;1\right]$ est contenu dans $]0\,;1]$.

Sur cet intervalle, $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{P}$ (question C.1.a). L'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x=\dfrac1\alpha$ et $x=1$ est donc

D'après la question précédente,

Donc l'aire du domaine hachuré est $\mathcal{A}=\dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3}$ unités d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=\dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3}$ (en unités d'aire).

Points clés attendus

• Théorème des valeurs intermédiaires : vérifier continuité, stricte monotonie et signes aux bornes de $[1\,;2]$, puis conclure à l'existence et à l'unicité de $\alpha$.

• Déduire le signe de $f$ de la stricte croissance et de $f(\alpha)=0$, puis s'en servir pour $f\left(\dfrac1x\right)$ avec la décroissance de la fonction inverse.

• Dériver $g$ avec $(uv)'$ et vérifier l'identité $g'(x)=xf\left(\dfrac1x\right)$ en utilisant $\ln\dfrac1x=-\ln x$.

• Position relative des courbes : étudier le signe de $g(x)-\left(-\dfrac78x^2+x\right)$.

• Intégration par parties : poser $u$ et $v'$, vérifier le caractère $\mathcal{C}^1$, puis remplacer $\ln\alpha$ par $4-2\alpha$ pour retrouver la forme demandée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.