Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2024, Métropole : exercice 2

19 juin 2024 · jour 1 · 5 points

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

$75 \%$ pour les clients sur internet
$90 \%$ pour les clients en magasin d'électroménager
$80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

$I$ : « le client a effectué son achat sur internet »
$M$ : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager »
$G$ : « le client a effectué son achat en grande surface »
$S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\overline{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
Démontrer que $P(S)=0,8$ .
Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

{

Figure de l'énoncé, exercice 2, Métropole 19 juin 2024

}

Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$ .
Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ .

La variable aléatoire $T_{1}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_{2}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.

On admet que les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, et on donne :
- L'espérance $E\left(T_{1}\right)=4$ et la variance $V\left(T_{1}\right)=2$
- L'espérance $E\left(T_{2}\right)=3$ et la variance $V\left(T_{2}\right)=1$ .
1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$ .
2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$ .

Voir le corrigé

Question 1. Traduction des données en probabilités :

répartition des achats : $P(I)=0{,}6$ , $P(M)=0{,}3$ , $P(G)=0{,}1$
clients satisfaits parmi ceux d'internet : $P_I(S)=0{,}75$ , donc $P_I(\overline S)=1-0{,}75=0{,}25$
clients satisfaits parmi ceux des magasins d'électroménager : $P_M(S)=0{,}9$ , donc $P_M(\overline S)=0{,}1$
clients satisfaits parmi ceux des grandes surfaces : $P_G(S)=0{,}8$ , donc $P_G(\overline S)=0{,}2$ .

L'arbre complété porte ces valeurs : $0{,}6$ , $0{,}3$ et $0{,}1$ sur les branches $I$ , $M$ , $G$   puis, sur les deux branches issues de chacun, $0{,}75$ et $0{,}25$ (pour $I$ ), $0{,}9$ et $0{,}1$ (pour $M$ ), $0{,}8$ et $0{,}2$ (pour $G$ ).

Question 2. On cherche $P(I\cap S)$ .

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

P(I\cap S)=P(I)\times P_I(S)=0{,}6\times0{,}75=0{,}45.

Donc la probabilité que le client ait acheté sur internet et soit satisfait est $0{,}45$ .

Réponse : $P(I\cap S)=0{,}45$ .

Question 3. Les évènements $I$ , $M$ et $G$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(S)=P(I\cap S)+P(M\cap S)+P(G\cap S).

On calcule chaque terme :

$P(I\cap S)=0{,}45$ (question 2)
$P(M\cap S)=P(M)\times P_M(S)=0{,}3\times0{,}9=0{,}27$
$P(G\cap S)=P(G)\times P_G(S)=0{,}1\times0{,}8=0{,}08$ .

Donc

P(S)=0{,}45+0{,}27+0{,}08=0{,}8.

Ainsi $P(S)=0{,}8$ .

Question 4. On cherche $P_S(I)$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle, avec $P(S)=0{,}8\neq0$ ,

P_S(I)=\dfrac{P(I\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}45}{0{,}8}=0{,}5625.

Arrondie au millième : $P_S(I)\approx0{,}563$ .

Donc, sachant qu'un client est satisfait, la probabilité qu'il ait acheté sur internet est environ $0{,}563$ .

Réponse : $P_S(I)=0{,}5625\approx0{,}563$ .

Question 5. a) On contacte $30$ clients, le choix étant assimilé à un tirage avec remise : on répète $30$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client est satisfait », de probabilité $P(S)=0{,}8$ (question 3).

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}8$ .

b) On cherche $P(X\geqslant25)$ .

On a

P(X\geqslant25)=1-P(X\leqslant24).

À la calculatrice, $P(X\leqslant24)\approx0{,}572$ , donc

P(X\geqslant25)\approx0{,}428.

Donc la probabilité qu'au moins $25$ clients soient satisfaits parmi les $30$ est environ $0{,}428$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X\geqslant25)\approx0{,}428$ .

Question 6. Soit $n$ la taille de l'échantillon. Le nombre $X_n$ de clients satisfaits suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}8)$ , pour les mêmes raisons qu'à la question 5.

L'évènement « au moins un client n'est pas satisfait » est le contraire de « tous les clients sont satisfaits », donc

P(X_n\leqslant n-1)=1-P(X_n=n)=1-0{,}8^{\,n}.

On cherche les entiers $n$ tels que

1-0{,}8^{\,n}>0{,}99\iff0{,}8^{\,n}<0{,}01.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}8^{\,n}<0{,}01\iff n\ln0{,}8<\ln0{,}01.

Comme $0{,}8<1$ , on a $\ln0{,}8<0$ : en divisant par $\ln0{,}8$ , on change le sens de l'inégalité,

n>\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}8}\approx20{,}6.

Le plus petit entier strictement supérieur à $20{,}6$ est $21$ .

Vérification : $1-0{,}8^{20}\approx0{,}988<0{,}99$ et $1-0{,}8^{21}\approx0{,}991>0{,}99$ .

Donc la taille minimale de l'échantillon est $21$ clients.

Réponse : $n=21$ .

Question 7. a) On a $T=T_1+T_2$ .

Par linéarité de l'espérance,

E(T)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7.

Les variables $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, donc les variances s'ajoutent :

V(T)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3.

Donc $E(T)=7$ et $V(T)=3$ .

Réponse : $E(T)=7$ et $V(T)=3$ .

b) Les variables $T_1$ et $T_2$ sont à valeurs entières, donc $T$ aussi.

L'évènement $\{5\leqslant T\leqslant9\}$ s'écrit $\{|T-7|\leqslant2\}$ .

Son évènement contraire est $\{|T-7|>2\}$ . Comme $T-7$ est un entier, $|T-7|>2$ équivaut à $|T-7|\geqslant3$ .

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à $T$ , qui admet une espérance $E(T)=7$ et une variance $V(T)=3$ : pour tout réel $\delta>0$ ,

P\left(|T-E(T)|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(T)}{\delta^2}.

Avec $\delta=3$ ,

P\left(|T-7|\geqslant3\right)\leqslant\dfrac{3}{3^2}=\dfrac13.

Donc

P(5\leqslant T\leqslant9)=1-P\left(|T-7|\geqslant3\right)\geqslant1-\dfrac13=\dfrac23.

Donc la probabilité que le client reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac23$ .

Points clés attendus

Nommer la partition $\{I,M,G\}$ pour la formule des probabilités totales, et distinguer $P_I(S)$ de $P(I\cap S)$ .
Calculer $P_S(I)$ par la définition de la probabilité conditionnelle et donner l'arrondi demandé.
Justifier la loi binomiale : $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), de paramètre $p=0{,}8$ .
Pour la taille d'échantillon : passer par le contraire, utiliser $\ln$ strictement croissante et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln0{,}8<0$ .
Bienaymé-Tchebychev : donner $E(T)$ et $V(T)$ (indépendance), écrire l'évènement avec $|T-7|$ et exploiter que $T$ est entière.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Métropole, 19 juin 2024 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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