Bac 2024, Métropole : exercice 1

Affirmation 1. Vraie.

On étudie la limite de $f$ en $+\infty$. Pour tout $x>0$,

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$.

Par quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Donc la courbe $C_f$ admet en $+\infty$ la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, pour asymptote horizontale.

L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

Avec $u(x)=5x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, on a $u'(x)=5$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$). La formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne, pour tout réel $x$,

Alors

Donc $f$ vérifie $y'+y=5\mathrm{e}^{-x}$ pour tout réel $x$ : c'est une solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Fausse.

Le théorème des gendarmes ne s'applique pas : il exige que les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ aient la même limite, ce qui n'est pas le cas ici ($-1$ et $1$).

On exhibe un contre-exemple. On pose, pour tout $n$ :

On a bien $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ pour tout $n$, la suite $(u_n)$ converge vers $-1$ et la suite $(w_n)$ converge vers $1$.

Mais la suite $\left((-1)^n\right)$ vaut $1$ pour $n$ pair et $-1$ pour $n$ impair : elle n'a pas de limite.

Donc $(v_n)$ ne converge pas nécessairement : l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. Vraie.

La suite $(u_n)$ est croissante : pour tout entier naturel $n$, $u_0\leqslant u_n$.

La suite $(w_n)$ est décroissante : pour tout entier naturel $n$, $w_n\leqslant w_0$.

Par hypothèse, $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$.

En enchaînant ces inégalités,

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_0\leqslant v_n\leqslant w_0$.

L'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : écrire $x\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ et citer les croissances comparées   préciser que l'asymptote est horizontale en $+\infty$.

• Affirmation 2 : dériver avec $(uv)'$ en n'oubliant pas la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$ (signe moins), puis vérifier l'égalité.

• Affirmation 3 : le théorème des gendarmes requiert une limite commune   produire un contre-exemple explicite.

• Affirmation 4 : utiliser la monotonie de $(u_n)$ et de $(w_n)$ pour comparer à $u_0$ et à $w_0$.

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