Bac 2024, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

On calcule $f(\ln5)$. Comme $\mathrm{e}^{-\ln5}=\dfrac1{\mathrm{e}^{\ln5}}=\dfrac15$,

Donc $f(\ln5)=3$ : le point $\mathrm{A}(\ln5\;;\;3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

Question 2.

On étudie la limite de $f$ en $+\infty$. On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$, donc

Par quotient de limites (le dénominateur a une limite non nulle),

Donc la droite d'équation $y=6$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

Question 3. a)

On pose $D(x)=1+5\mathrm{e}^{-x}$. La fonction $D$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, strictement supérieure à $1$ donc ne s'annule pas, et $D'(x)=-5\mathrm{e}^{-x}$.

On a $f=\dfrac6D$. Avec la formule $\left(\dfrac1D\right)'=-\dfrac{D'}{D^2}$, pour tout réel $x$,

Donc pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}$.

3. b)

Pour tout réel $x$, $30\mathrm{e}^{-x}>0$ et $\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2>0$. Donc $f'(x)>0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limite en $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=6$ (question 2).

Limite en $-\infty$ : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$, donc $1+5\mathrm{e}^{-x}\to+\infty$ et, par inverse,

Tableau de variations, décrit en phrases : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de limite $0$ en $-\infty$ à limite $6$ en $+\infty$. En particulier $0<f(x)<6$ pour tout réel $x$.

Question 4. a)

Pour tout réel $x$, $30\mathrm{e}^{-x}>0$ et $\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^3>0$. Donc $f''(x)$ a le signe de $5\mathrm{e}^{-x}-1$.

On résout, la fonction $\ln$ étant strictement croissante :

On en déduit :

• $f''(x)>0$ sur $]-\infty\;;\;\ln5[$ : $f$ est convexe sur $]-\infty\;;\;\ln5]$

• $f''(\ln5)=0$

• $f''(x)<0$ sur $]\ln5\;;\;+\infty[$ : $f$ est concave sur $[\ln5\;;\;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en $\ln5$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $\ln5$. Son ordonnée est $f(\ln5)=3$.

Donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion, le point $\mathrm{A}(\ln5\;;\;3)$.

4. b)

On détermine la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$. On a

Donc $T$ a pour équation

La fonction $f$ est convexe sur $]-\infty\;;\;\ln5]$ (question 4. a)), et cet intervalle contient $0$ (car $\ln5>0$). Or une courbe est située au-dessus de ses tangentes sur tout intervalle où la fonction est convexe.

Donc pour tout réel $x\in]-\infty\;;\;\ln5]$, $f(x)\geqslant\dfrac56x+1$.

Question 5. a)

La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^x+5$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $F_k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. D'après la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$,

D'autre part, en multipliant numérateur et dénominateur par $\mathrm{e}^x\neq0$,

Donc $F_k'=f$ si et seulement si $k\times\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+5}=6\times\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+5}$ pour tout $x$, c'est-à-dire $k=6$.

Donc $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ pour $k=6$.

Réponse : $k=6$.

5. b)

La fonction $f$ est continue et positive sur $[0\;;\;\ln5]$ (on a $f>0$ sur $\mathbb{R}$). L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln5$ est donc

D'après la question 5. a), $F_6:x\mapsto6\ln\left(\mathrm{e}^x+5\right)$ est une primitive de $f$. Donc

Donc l'aire du domaine est égale à $6\ln\left(\dfrac53\right)$ unités d'aire.

Partie B

Question 1.

On pose à nouveau $D(x)=1+5\mathrm{e}^{-x}$, de sorte que $f=\dfrac6D$. On calcule, pour tout réel $x$,

Comme $D-1=5\mathrm{e}^{-x}$,

d'après la question A3. a).

Donc pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)-\dfrac16\left[f(x)\right]^2$ : la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

Question 2.

L'équation $y'=-y+\dfrac16$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=\dfrac16$. Ses solutions sont les fonctions

Vérification : la fonction constante $\dfrac16$ est solution particulière, car $0=-\dfrac16+\dfrac16$   les solutions de l'équation homogène $y'=-y$ sont les $C\mathrm{e}^{-x}$.

Donc les solutions sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}+\dfrac16$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Réponse : $y(x)=C\mathrm{e}^{-x}+\dfrac16$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 3. a)

On suppose que $h=\dfrac1g$ est solution de $y'=-y+\dfrac16$, c'est-à-dire, pour tout réel $x$,

La fonction $g$ est dérivable et ne s'annule pas, donc $h=\dfrac1g$ est dérivable avec

On remplace $h$ et $h'$ dans l'égalité :

On multiplie les deux membres par $-g(x)^2$ :

Donc $g$ est solution de l'équation différentielle $y'=y-\dfrac16y^2$.

3. b)

Soit $m\geqslant0$. On pose, pour tout réel $x$,

On a $h_m(x)>0$ pour tout réel $x$ (car $m\geqslant0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$ donnent $m\mathrm{e}^{-x}\geqslant0$). Donc $h_m$ ne s'annule pas, et

D'après la question 2 avec $C=m$, la fonction $h_m$ est solution de $y'=-y+\dfrac16$. La fonction $h_m$ est dérivable et ne s'annule pas, et $g_m=\dfrac1{h_m}$ est dérivable.

Par la question 3. a) appliquée à $h=h_m$ et $g=g_m$, la fonction $g_m$ est solution de $y'=y-\dfrac16y^2$.

Donc pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. (Pour $m=\dfrac56$, on retrouve $g_m=f$.)

Points clés attendus

• Utiliser $\mathrm{e}^{-\ln5}=\frac15$ pour la vérification du point A.

• Limite en $+\infty$ pour l'asymptote, dérivée d'un inverse avec justification que le dénominateur ne s'annule pas.

• Signe de $f'$ et de $f''$ justifié facteur par facteur, puis conclusion sur la convexité et le point d'inflexion (changement de signe de $f''$).

• Position relative courbe/tangente : citer la convexité de $f$ sur l'intervalle contenant l'abscisse du point de tangence.

• Primitive vérifiée par dérivation, puis aire écrite comme intégrale d'une fonction positive.

• Équation différentielle : vérification algébrique pour $f$, résolution de $y'=ay+b$, et justification que $h_m$ ne s'annule pas avant de passer à l'inverse.

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