Bac 2023, Centres étrangers : exercice 4

Pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t)$ est la population de bactéries, en milliers, $t$ heures après le début de l'expérience :

Étude préliminaire de $f$.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables.

On pose $u(t)=-0{,}5t^2+t+2$, dérivable avec $u'(t)=-t+1$.

D'après la formule de dérivation d'une composée $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ :

Pour tout réel $t$, $\mathrm{e}^{-0{,}5t^2+t+2}>0$, donc $f'(t)$ a le signe de $t-1$ :

• pour $t\in[0\,;1[$, $f'(t)<0$

• $f'(1)=0$

• pour $t>1$, $f'(t)>0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

On calcule les valeurs utiles : $f(0)=\mathrm{e}^3-\mathrm{e}^{2}\approx12{,}70$ et $f(1)=\mathrm{e}^3-\mathrm{e}^{2{,}5}\approx7{,}90$ (en milliers).

Affirmation 1.

L'affirmation 1 est fausse.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$ : la population diminue pendant la première heure, puisque $f(0)\approx12{,}70>f(1)\approx7{,}90$.

Il suffit d'un intervalle de temps où elle diminue pour que « la population augmente en permanence » soit fausse.

Donc l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 2.

L'affirmation 2 est fausse.

On a $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(-0{,}5t^2+t+2\right)=-\infty$ (limite d'un polynôme en $+\infty$, déterminée par son terme de plus haut degré $-0{,}5t^2$).

Par limite d'une composée, avec $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^X=0$ :

Donc :

De plus, pour tout $t\geqslant0$, $\mathrm{e}^{-0{,}5t^2+t+2}>0$, donc $f(t)<\mathrm{e}^3$.

La population reste donc strictement inférieure à $\mathrm{e}^3$ milliers, soit environ $20\,086$ bactéries, et ne dépasse jamais $21\,000$.

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 3.

L'affirmation 3 est vraie.

Un effectif de $10\,000$ bactéries correspond à $f(t)=10$ (en milliers). On cherche le nombre de solutions de cette équation sur $[0\,;+\infty[$.

Sur $[0\,;1]$. On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones) :

• $f$ est continue sur $[0\,;1]$ (car dérivable)

• $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$

• $10$ est compris entre $f(1)\approx7{,}90$ et $f(0)\approx12{,}70$.

D'après ce théorème, l'équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0\,;1]$ (environ $0{,}39$).

Sur $[1\,;+\infty[$. On vérifie de même :

• $f$ est continue sur $[1\,;+\infty[$

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$

• $f(1)\approx7{,}90<10<\mathrm{e}^3\approx20{,}09$, et $\mathrm{e}^3$ est la limite de $f$ en $+\infty$.

D'après ce théorème, l'équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1\,;+\infty[$ (environ $1{,}61$).

Ces deux solutions sont distinctes (l'une est dans $[0\,;1[$, l'autre dans $]1\,;+\infty[$, car $f(1)\neq10$).

Donc l'équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions : la population compte $10\,000$ bactéries à deux reprises au cours du temps, et l'affirmation 3 est vraie.

Réponse : vraie.

Points clés attendus

• Dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ calculée avec le bon signe, puis signe de $f'$ justifié par la positivité de l'exponentielle.

• Un seul intervalle de décroissance suffit pour réfuter l'affirmation 1.

• Limite en $+\infty$ par composée, et comparaison de $\mathrm{e}^3\approx20\,086$ bactéries avec $21\,000$   majoration stricte $f(t)<\mathrm{e}^3$.

• Théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun des deux intervalles de monotonie, avec les hypothèses vérifiées (continuité, stricte monotonie, valeur $10$ entre les bornes).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.