Bac 2023, Asie : exercice 4

La liste est formée des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$ : son terme de rang $k$ (en partant de $k=0$) est $u_k=7+3k$, et le dernier terme est $2023$.

Question 1. Réponse B.

Le dernier terme vérifie $7+3k=2023$, donc $3k=2016$ et $k=672$.

Les rangs vont de $k=0$ à $k=672$ : la liste compte $672-0+1=673$ termes.

Les réponses A ($2023$) et D ($2016$) confondent le nombre de termes avec une valeur de la liste, et C ($672$) oublie le terme de rang $0$.

Donc la liste contient $673$ nombres.

Réponse : B ($673$).

Question 2. Réponse C.

On choisit un nombre au hasard dans la liste, qui compte $673$ termes équiprobables.

Le nombre $7+3k$ est pair si et seulement si $3k$ est impair, c'est-à-dire si et seulement si $k$ est impair.

Les entiers impairs compris entre $0$ et $672$ sont $1{,}3,5,\dots,671$ : il y en a $\dfrac{671-1}{2}+1=336$.

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles :

Donc la probabilité de tirer un nombre pair est $\dfrac{336}{673}$.

Réponse : C.

Question 3. Réponse B.

L'évènement « obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités » est l'évènement $A\cap B$.

L'énoncé donne $p(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

La proposition A est le produit de $p(A)$ par $p(A\cap B)$, qui n'a pas de sens ici. La proposition C vaut $\dfrac{17}{84}\neq\dfrac{34}{673}$. La proposition D est supérieure à $1$.

Donc la probabilité demandée est $\dfrac{34}{673}$.

Réponse : B.

Question 4. Réponse D.

On cherche $P_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$, définie car $p(B)\neq0$.

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers : d'après la formule des probabilités totales,

On a $p(\overline{A})=1-\dfrac{168}{673}=\dfrac{505}{673}$ et, d'après l'arbre, $P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{33}{505}$, donc

Ainsi

Alors

Donc $P_B(A)=\dfrac{34}{67}$.

Réponse : D.

Question 5. Réponse A.

On choisit successivement $10$ éléments de la liste, un élément pouvant être choisi plusieurs fois : ce sont $10$ tirages avec remise, donc $10$ épreuves identiques et indépendantes.

Chaque épreuve a deux issues : « obtenir un multiple de $4$ » (succès, de probabilité $p(A)=\dfrac{168}{673}$) ou non.

Le nombre de multiples de $4$ obtenus suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$.

La probabilité qu'aucun des $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est la probabilité de $0$ succès :

La proposition B est la probabilité d'obtenir au moins un multiple de $4$.

Donc la probabilité cherchée est $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.

Réponse : A.

Points clés attendus

• Compter les termes d'une suite arithmétique sans oublier le terme de rang $0$.

• Utiliser la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,\overline{A}\}$ pour obtenir $p(B)$, puis la définition de $P_B(A)$.

• Ne pas confondre $P_B(A)$ avec $P_A(B)$ ni avec $p(A\cap B)$.

• Reconnaître la loi binomiale (répétition indépendante, deux issues) et distinguer « aucun succès » de « au moins un succès ».

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.