Bac 2022, Amérique du Sud : exercice 1

Partie A

Question 1. On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

La moitié des composants est conçue sur la chaîne numéro 1 et $30\,\%$ sur la chaîne numéro 2. Les composants restants proviennent de la chaîne numéro 3, donc

Les taux de défaut par chaîne donnent les probabilités conditionnelles suivantes.

• Chaîne numéro 1 : $P_{C_1}(D)=0{,}01$ et $P_{C_1}(\overline{D})=1-0{,}01=0{,}99$.

• Chaîne numéro 2 : $P_{C_2}(D)=0{,}005$ et $P_{C_2}(\overline{D})=1-0{,}005=0{,}995$.

• Chaîne numéro 3 : $P_{C_3}(D)=0{,}04$ et $P_{C_3}(\overline{D})=1-0{,}04=0{,}96$.

L'arbre pondéré comporte donc trois branches principales $C_1$, $C_2$, $C_3$ de poids respectifs $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$. De chacune partent deux branches, $D$ et $\overline{D}$, pondérées par les probabilités conditionnelles ci-dessus.

Question 2. On cherche $P(C_3\cap D)$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

On obtient

Donc la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne numéro 3 et soit défectueux est $0{,}008$.

Réponse : $P(C_3\cap D)=0{,}008$.

Question 3. Les évènements $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont deux à deux incompatibles (un composant est conçu sur une seule chaîne) et leur réunion est l'univers entier (toute pièce provient d'une des trois chaînes). Ils forment donc une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On calcule chaque terme avec la formule des probabilités conditionnelles :

Donc

On retrouve bien $P(D)=0{,}0145$.

Question 4. On cherche la probabilité de $C_3$ sachant $D$.

Comme $P(D)=0{,}0145\neq 0$, la définition de la probabilité conditionnelle s'applique :

Donc, arrondie à $10^{-4}$, la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne numéro 3 est $0{,}5517$.

Réponse : $P_D(C_3)=\dfrac{16}{29}\approx 0{,}5517$.

Partie B

La variable aléatoire $X$ suit, d'après l'énoncé, la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0{,}0145$ : on peut la voir comme le nombre de succès (composant défectueux, de probabilité $p=0{,}0145$) lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$,

Question 1. a) Ici $n=20$ et $k=3$ :

On a $\dbinom{20}{3}=\dfrac{20\times 19\times 18}{3\times 2\times 1}=1140$.

À la calculatrice,

Donc la probabilité qu'un lot de $20$ unités possède exactement trois composants défectueux est environ $0{,}0027$ (arrondie à $10^{-4}$).

Réponse : $P(X=3)\approx 0{,}0027$.

Question 1. b) Pour $k=0$, on a $\dbinom{20}{0}=1$ et $0{,}0145^{0}=1$, donc

L'évènement « le lot possède au moins un composant défectueux » est l'évènement contraire de $\{X=0\}$. Donc

Donc un lot de $20$ unités ne contient aucun composant défectueux avec une probabilité d'environ $0{,}7467$, et en contient au moins un avec une probabilité d'environ $0{,}2533$.

Réponse : $P(X=0)\approx 0{,}7467$ et $P(X\geqslant 1)\approx 0{,}2533$.

Question 2. Pour un lot de $n$ composants, la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux est

On cherche les entiers $n$ tels que $0{,}9855^{n}>0{,}85$.

Comme $0<0{,}9855<1$, la suite $\left(0{,}9855^{n}\right)$ est strictement décroissante.

On calcule à la calculatrice :

Par décroissance stricte de la suite, on en déduit :

• pour tout entier $n\leqslant 11$, $0{,}9855^{n}\geqslant 0{,}9855^{11}>0{,}85$

• pour tout entier $n\geqslant 12$, $0{,}9855^{n}\leqslant 0{,}9855^{12}<0{,}85$.

Donc la condition est vérifiée si et seulement si $n\leqslant 11$. Le directeur a raison : les lots doivent contenir $11$ composants au maximum.

Réponse : oui, $n\leqslant 11$.

Partie C

Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le coût de fabrication d'un composant. Elle prend les valeurs $15$, $12$ et $9$ (en euros), avec les probabilités $P(Y=15)=P(C_1)=0{,}5$, $P(Y=12)=P(C_2)=0{,}3$ et $P(Y=9)=P(C_3)=0{,}2$.

Le coût moyen est l'espérance de $Y$ :

Donc le coût moyen de fabrication d'un composant est de $12{,}9$ euros.

Réponse : $E(Y)=12{,}9$ euros.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités conditionnelles et citer la formule $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant que $C_1$, $C_2$, $C_3$ forment une partition de l'univers.

• Justifier le modèle binomial (répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et donner les paramètres.

• Passer par l'évènement contraire pour « au moins un défectueux ».

• Pour le seuil, utiliser la décroissance de $0{,}9855^{n}$ pour conclure sur tous les entiers $n\leqslant 11$.

• Interpréter le coût moyen comme une espérance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.