Fiche 4 : dénombrement et probabilités, problèmes classiques

L'univers

$\Omega$ est l'ensemble des parties à $5$ éléments d'un ensemble de $32$ cartes. $|\Omega|=\dbinom{32}5=201\,376$. Le tirage est fait au hasard : toutes les mains sont équiprobables.

L'événement $A$ : « exactement $2$ cœurs »

On choisit $2$ cœurs parmi $8$ : $\dbinom82=28$. Puis $3$ cartes parmi les $24$ cartes qui ne sont pas des cœurs : $\dbinom{24}3=2\,024$. $|A|=28\times2\,024=56\,672$.

La probabilité

✅ $P(A)=\dfrac{56\,672}{201\,376}=\dfrac{253}{899}\approx0{,}281$

Question 1

Le nombre de tirages possibles est $\dbinom{49}5\times10=1\,906\,884\times10=19\,068\,840$. Ils sont tous équiprobables. Un seul tirage donne le jackpot.

✅ $P=\dfrac1{19\,068\,840}\approx5{,}2\times10^{-8}$

Question 2

Ici, seuls les $5$ numéros comptent. $\Omega$ est l'ensemble des parties à $5$ éléments de $\{1,\dots,49\}$. $|\Omega|=\dbinom{49}5=1\,906\,884$. Pour avoir exactement $3$ bons numéros :

• $3$ numéros parmi les $5$ gagnants : $\dbinom53=10$ ;
• $2$ numéros parmi les $44$ non gagnants : $\dbinom{44}2=946$.

Tirages favorables : $10\times946=9\,460$.

✅ $P=\dfrac{9\,460}{1\,906\,884}=\dfrac{2\,365}{476\,721}\approx0{,}005$

Question 1

Une répartition des anniversaires est un $n$-uplet de dates. $|\Omega|=365^n$, tous équiprobables.

On passe à l'événement contraire : « toutes les dates sont distinctes ».

Il y a $365\times364\times\dots\times(365-n+1)$ $n$-uplets de dates distinctes.

✅ $p_n=1-\dfrac{365\times364\times\dots\times(365-n+1)}{365^n}$

Question 2

def seuil():
    n = 0
    q = 1
    while 1 - q < 0.5:
        q = q * (365 - n)/365
        n = n + 1
    return n

La variable q vaut la probabilité que les $n$ premières personnes aient des dates toutes distinctes. À chaque tour, on ajoute une personne (facteur $\dfrac{365-n}{365}$).

✅ Le script renvoie $23$.

Dès $23$ personnes, la probabilité d'avoir au moins deux anniversaires identiques dépasse $\dfrac12$ : $p_{23}\approx0{,}507$.

Pour $50$ personnes : $p_{50}\approx0{,}970$.

C'est un résultat contre-intuitif, d'où le nom de « paradoxe ».

Question 1

On choisit successivement $4$ lettres ($26$ choix chacune) puis $2$ chiffres ($10$ choix chacun), avec répétitions possibles. $26^4\times10^2=456\,976\times100$.

✅ Il y a $45\,697\,600$ mots de passe.

Question 2

Premier caractère : une lettre ($26$ choix). Dernier caractère : un chiffre ($10$ choix). Les $4$ caractères intermédiaires sont quelconques parmi $36$ : $36^4=1\,679\,616$. $26\times36^4\times10$.

✅ Il y a $436\,700\,160$ mots de passe.

Question 3

$\Omega$ : les $45\,697\,600$ mots de passe, équiprobables. Mots de passe à $4$ lettres distinctes : $26\times25\times24\times23\times10^2=358\,800\times100=35\,880\,000$.

✅ $P=\dfrac{35\,880\,000}{45\,697\,600}=\dfrac{358\,800}{456\,976}\approx0{,}785$

L'univers

$\Omega$ est l'ensemble des parties à $3$ éléments de $12$ boules. $|\Omega|=\dbinom{12}3=220$. Les boules sont indiscernables au toucher : les tirages sont équiprobables.

Question 1

Même couleur (cas disjoints) : $\dbinom53+\dbinom43+\dbinom33=10+4+1=15$.

✅ $P=\dfrac{15}{220}=\dfrac3{44}\approx0{,}068$

Question 2

Une boule de chaque couleur : $5\times4\times3=60$.

✅ $P=\dfrac{60}{220}=\dfrac3{11}\approx0{,}273$

Question 3

Exactement $2$ rouges : $\dbinom52\times\dbinom71=10\times7=70$ (une boule parmi les $7$ non rouges).

✅ $P=\dfrac{70}{220}=\dfrac7{22}\approx0{,}318$

Question 4

Par complémentaire. Aucun vert signifie $3$ boules parmi les $8$ non vertes : $\dbinom83=56$. Les tirages avec au moins une verte sont au nombre de $220-56=164$.

✅ $P=\dfrac{164}{220}=\dfrac{41}{55}\approx0{,}745$

Tous les chemins

Un chemin comporte $7$ pas dont $3$ vers le haut. $\dbinom73=35$ chemins.

Les chemins qui passent par $(2{,}1)$

De $(0{,}0)$ à $(2{,}1)$ : $\dbinom31=3$ chemins. De $(2{,}1)$ à $(4{,}3)$ : $4$ pas dont $2$ vers le haut, $\dbinom42=6$ chemins. $3\times6=18$ chemins passent par $(2{,}1)$.

Par complémentaire

$35-18$

✅ $17$ chemins évitent $(2{,}1)$.

Question 1

Une poignée de main correspond à une paire de personnes. C'est une partie à $2$ éléments parmi $10$, sans ordre. $\dbinom{10}2$.

✅ Il y a $45$ poignées de main.

Question 2

Un match est déterminé par un couple ordonné (équipe à domicile, équipe à l'extérieur) d'équipes distinctes. $20\times19$.

✅ Il y a $380$ matchs.

Autre écriture : $2\times\dbinom{20}2=2\times190=380$. Chaque équipe joue $19$ matchs à domicile et $19$ à l'extérieur.

✅ $38$ matchs par équipe.

Le script

from itertools import combinations

compteur = 0
for main in combinations(range(32), 5):
    coeurs = 0
    for carte in main:
        if carte % 4 == 0:
            coeurs = coeurs + 1
    if coeurs == 3:
        compteur = compteur + 1
print(compteur)

Le résultat

La fonction combinations génère chacune des $\dbinom{32}5=201\,376$ mains une seule fois.

✅ Le script affiche $15\,456$.

Cela coïncide avec la formule : $\dbinom83\times\dbinom{24}2=56\times276=15\,456$.

Une limite

L'énumération confirme la formule.

Mais elle devient impraticable pour de grandes valeurs.

Pour un jeu de $52$ cartes et une main de $13$ cartes, il y a plus de $600$ milliards de mains.

Le dénombrement par formule est indispensable.