Fiche 2 : les combinaisons

Méthode

On utilise $\dbinom nk=\dfrac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}$ et la symétrie $\dbinom nk=\dbinom n{n-k}$.

Calculs

$\dbinom62=\dfrac{6\times5}2$

✅ $\dbinom62=15$

$\dbinom{10}3=\dfrac{10\times9\times8}6$

✅ $\dbinom{10}3=120$

✅ $\dbinom80=1$

$\dbinom{12}{10}=\dbinom{12}2=\dfrac{12\times11}2$

✅ $\dbinom{12}{10}=66$

$\dbinom73=\dfrac{7\times6\times5}6$

✅ $\dbinom73=35$

$\dbinom{20}{18}=\dbinom{20}2=\dfrac{20\times19}2$

✅ $\dbinom{20}{18}=190$

Question 1

Un tirage simultané de $4$ boules parmi $12$ est une partie à $4$ éléments (sans ordre, sans répétition). $\dbinom{12}4$.

✅ Il y a $495$ tirages.

Question 2

Un comité est une partie de $5$ personnes parmi $20$. $\dbinom{20}5$.

✅ Il y a $15\,504$ comités.

Question 3

On choisit les $5$ numéros : $\dbinom{49}5=1\,906\,884$ façons (sans ordre). Puis le numéro chance : $10$ choix. $1\,906\,884\times10$.

✅ Il y a $19\,068\,840$ grilles.

Question 1

Une main est une partie de $5$ cartes parmi $32$. $\dbinom{32}5$.

✅ Il y a $201\,376$ mains.

Question 2

On choisit $3$ cœurs parmi $8$ : $\dbinom83=56$ façons. Puis $2$ cartes parmi les $24$ cartes non-cœurs : $\dbinom{24}2=276$. $56\times276$.

✅ Il y a $15\,456$ mains.

Question 3

On passe au complémentaire.

Les mains sans as sont des parties de $5$ cartes parmi les $28$ cartes qui ne sont pas des as : $\dbinom{28}5=98\,280$.

Les mains avec au moins un as sont donc au nombre de $201\,376-98\,280$.

✅ Il y a $103\,096$ mains.

Question 4

On choisit $2$ rois parmi $4$ : $\dbinom42=6$. Puis $3$ cartes parmi les $28$ cartes non-rois : $\dbinom{28}3=3\,276$. $6\times3\,276$.

✅ Il y a $19\,656$ mains.

Question 5

On choisit la valeur du carré : $8$ façons. Les $4$ cartes de cette valeur sont alors fixées : $1$ façon. Puis la cinquième carte parmi les $28$ restantes. $8\times1\times28$.

✅ Il y a $224$ mains.

Question 1

$\dbinom{30}4$

✅ Il y a $27\,405$ comités.

Question 2

Deux filles parmi $18$ : $\dbinom{18}2=153$. Deux garçons parmi $12$ : $\dbinom{12}2=66$. $153\times66$.

✅ Il y a $10\,098$ comités.

Question 3

On passe au complémentaire. Les comités sans garçon ($4$ filles) sont au nombre de $\dbinom{18}4=3\,060$. $27\,405-3\,060$.

✅ Il y a $24\,345$ comités.

Question 4

« Au moins $3$ filles » se partage en deux cas disjoints.

Exactement $3$ filles (et $1$ garçon) : $\dbinom{18}3\times\dbinom{12}1=816\times12=9\,792$.

Exactement $4$ filles : $\dbinom{18}4=3\,060$.

$9\,792+3\,060$

✅ Il y a $12\,852$ comités.

Question 1

Un chemin est une suite de $8$ pas, dont $5$ vers la droite et $3$ vers le haut. Il est déterminé par le choix des $3$ positions des pas « haut » parmi les $8$. $\dbinom83$.

✅ Il y a $56$ chemins.

Question 2

Un chemin passant par $(2{,}1)$ se décompose en deux parties.

De $(0{,}0)$ à $(2{,}1)$ : $3$ pas dont $1$ vers le haut. $\dbinom31=3$ façons.

De $(2{,}1)$ à $(5{,}3)$ : $5$ pas dont $2$ vers le haut. $\dbinom52=10$ façons.

D'après le principe multiplicatif : $3\times10$.

✅ Il y a $30$ chemins.

Question 1

Les $5$ lettres de MATHS sont distinctes. $5!$.

✅ Il y a $120$ anagrammes.

Question 2

ANANAS a $6$ lettres : $3$ A, $2$ N, $1$ S.

On choisit les $3$ places des A parmi $6$ : $\dbinom63=20$.

Puis les $2$ places des N parmi les $3$ places restantes : $\dbinom32=3$.

Le S prend la dernière place. $20\times3$.

✅ Il y a $60$ anagrammes.

On retrouve $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}=\dfrac{720}{12}=60$.

Question 3

MISSISSIPPI a $11$ lettres : $1$ M, $4$ I, $4$ S, $2$ P.

On place les $4$ I : $\dbinom{11}4=330$.

Puis les $4$ S parmi les $7$ places restantes : $\dbinom74=35$.

Puis les $2$ P parmi les $3$ restantes : $\dbinom32=3$.

Le M prend la dernière place. $330\times35\times3$.

✅ Il y a $34\,650$ anagrammes.

Question 1

Une série est un $10$-uplet de $\{\text{pile},\text{face}\}$. $2^{10}$.

✅ Il y a $1\,024$ séries.

Question 2

Une série avec exactement $4$ « pile » est déterminée par le choix des $4$ positions des « pile » parmi les $10$. $\dbinom{10}4$.

✅ Il y a $210$ séries.

Question 3

Par complémentaire : une seule série n'a aucun « pile » (que des « face »). $1\,024-1$.

✅ Il y a $1\,023$ séries.

Question 4

« Au plus $2$ pile » se partage en trois cas disjoints : $0$, $1$ ou $2$ « pile ». $\dbinom{10}0+\dbinom{10}1+\dbinom{10}2=1+10+45$.

✅ Il y a $56$ séries.

Question 1

$2^5$

✅ $E$ a $32$ parties.

Question 2

Les cardinaux pairs possibles sont $0$, $2$, $4$. $\dbinom50+\dbinom52+\dbinom54=1+10+5$.

✅ Il y a $16$ parties de cardinal pair.

C'est la moitié des parties, comme prévu.

Question 3

Une partie contenant $a$ est déterminée par le choix, pour chacun des $4$ autres éléments, d'être dedans ou non. $2^4$.

✅ Il y a $16$ parties contenant $a$.

Question 4

Avec $a$ et $b$ dans la partie, il reste $3$ éléments libres. $2^3$.

✅ Il y a $8$ parties contenant $a$ et $b$.

Question 5

Toutes les parties sauf la partie vide. $32-1$.

✅ Il y a $31$ parties non vides.

Question 1

$\dbinom n2=\dfrac{n(n-1)}2=45$ équivaut à $n(n-1)=90$, soit $n^2-n-90=0$, c'est-à-dire $(n-10)(n+9)=0$. Comme $n\ge2$ :

✅ $n=10$

Question 2

$n+\dfrac{n(n-1)}2=28$ équivaut à $2n+n^2-n=56$, soit $n^2+n-56=0$, c'est-à-dire $(n-7)(n+8)=0$.

✅ $n=7$

Question 3

$\dbinom n3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}6=20$ équivaut à $n(n-1)(n-2)=120$. La fonction $n\mapsto n(n-1)(n-2)$ est strictement croissante pour $n\ge2$. Et $6\times5\times4=120$.

✅ $n=6$

Affirmation 1

Choisir $k$ éléments à garder revient à choisir les $n-k$ éléments à écarter.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Il y a $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ $k$-uplets d'éléments distincts. Chaque combinaison correspond à $k!$ de ces $k$-uplets.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Pour $n=2$ : $\dbinom42=6$ et $2\dbinom22=2$.

❌ Faux.

Affirmation 4

La somme des $\dbinom5k$ est le nombre de parties d'un ensemble à $5$ éléments : $2^5=32$. $1+5+10+10+5+1=32$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Par exemple pour $n=4$ : $1$, $4$, $6$, $4$, $1$. La suite croît puis décroît (symétrie).

❌ Faux.

Affirmation 6

C'est la relation de Pascal.

✅ Vrai.