Dénombrement : exercices type bac

Un tirage simultané de $4$ boules parmi $12$ est une partie à $4$ éléments d'un ensemble à $12$ éléments (sans ordre, sans répétition). $\dbinom{12}4=\dfrac{12\times11\times10\times9}{24}$.

✅ Il y a $495$ tirages possibles.

Les boules sont indiscernables au toucher : les $495$ tirages sont équiprobables.

Pour $A$ :

• $2$ boules rouges parmi $4$ : $\dbinom42=6$ façons ;
• $2$ boules parmi les $8$ non rouges : $\dbinom82=28$ façons.

$|A|=6\times28=168$

✅ $P(A)=\dfrac{168}{495}=\dfrac{56}{165}\approx0{,}339$

On passe à l'événement contraire $\overline B$ : « aucune boule jaune ». Ce sont les tirages de $4$ boules parmi les $7$ non jaunes : $\dbinom74=35$. $P(\overline B)=\dfrac{35}{495}=\dfrac7{99}$.

✅ $P(B)=1-\dfrac7{99}=\dfrac{92}{99}\approx0{,}929$

Pour $C$ :

• $2$ boules jaunes parmi $5$ : $\dbinom52=10$ façons ;
• $2$ boules parmi les $7$ non jaunes : $\dbinom72=21$ façons.

$|C|=10\times21=210$

✅ $P(C)=\dfrac{210}{495}=\dfrac{14}{33}\approx0{,}424$

Le tirage est successif sans remise. $\Omega$ est l'ensemble des $4$-uplets de boules distinctes. $|\Omega|=12\times11\times10\times9=11\,880$ (équiprobables).

Les $4$-uplets de $4$ boules rouges sont au nombre de $4\times3\times2\times1=24$.

✅ $P=\dfrac{24}{11\,880}=\dfrac1{495}$

Comparaison. Pour le tirage simultané, il y a une seule partie formée des $4$ boules rouges : $\dbinom44=1$. $P=\dfrac1{495}$.

On obtient la même probabilité.

C'est cohérent : ordonner les tirages ne change pas la probabilité d'un événement qui ne dépend pas de l'ordre.

• Q1 : le modèle est nommé (partie à $4$ éléments), calcul de $\dbinom{12}4$.

• Q2 : équiprobabilité justifiée, deux choix séparés multipliés, fraction simplifiée.

• Q3 : événement contraire correctement défini (aucune jaune), combinaison de $4$ parmi $7$, $P(B)=1-P(\overline B)$.

• Q4 : deux choix multipliés.

• Q5 : $\Omega$ décrit avec ordre ($4$-uplets), dénombrement avec le même modèle, comparaison justifiée.

Pour former une partie de $E$, on décide pour chacun des $n$ éléments s'il appartient à la partie ou non. $2$ choix pour chaque élément. D'après le principe multiplicatif :

✅ $E$ a $2^n$ parties.

D'après la formule du binôme avec $a=1$ et $b=-1$ :

Comme $n\ge1$, $0^n=0$.

✅ $\displaystyle\sum(-1)^k\binom nk=0$

Notons $P$ la somme des $\dbinom nk$ pour $k$ pair, et $I$ celle pour $k$ impair. On a $P-I=0$ (ce qui précède). On a $P+I=2^n$ (question 1). Donc $P=I=2^{n-1}$.

Pour $n=10$ :

✅ $2^9=512$ parties de cardinal pair.

Pour $1\le k\le n$ :

Or $n!=n\times(n-1)!$ et $n-k=(n-1)-(k-1)$. Donc :

✅ $k\dbinom nk=n\dbinom{n-1}{k-1}$ ∎

Le terme $k=0$ est nul. D'après la question 3 :

On pose $j=k-1$. Cette somme vaut :

d'après la somme des coefficients (question 1 appliquée à un ensemble de $n-1$ éléments).

✅ $\displaystyle\sum k\binom nk=n\times2^{n-1}$ ∎

Un bureau est :

• une partie non vide de $k$ membres : $\dbinom{10}k$ choix ;
• munie d'un président choisi parmi ses $k$ membres : $k$ choix.

Le nombre de bureaux est donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k\binom{10}k=10\times2^9$.

✅ Il y a $5\,120$ bureaux.

Autre dénombrement. On choisit d'abord le président : $10$ façons. Puis on décide pour chacun des $9$ autres membres s'il fait partie du bureau ou non : $2^9=512$ façons. $10\times512=5\,120$ ✓

Script :

from math import comb

print(sum(k * comb(10, k) for k in range(1, 11)))

Le script affiche 5120. Cela confirme le résultat.

• Q1 : choix « dedans » ou « dehors » pour chaque élément, principe multiplicatif.

• Q2 : formule du binôme citée avec $a=1$ et $b=-1$, système $P+I$ et $P-I$, valeur pour $n=10$.

• Q3 : calcul factoriel détaillé, conditions sur $k$ mentionnées.

• Q4 : terme $k=0$ traité, changement d'indice $j=k-1$ explicite, utilisation de la somme des coefficients.

• Q5 : modèle « partie + président » décrit, deux dénombrements concordants, script cohérent avec le résultat.

Un code est un couple de lettres suivi de $3$ chiffres, avec répétitions possibles. $26\times26\times10\times10\times10=26^2\times10^3=676\times1\,000$.

✅ Il y a $676\,000$ codes.

On choisit successivement :

• la première lettre : $26$ choix ;
• la seconde, différente : $25$ choix ;
• le premier chiffre : $10$ choix ;
• le deuxième, différent : $9$ choix ;
• le troisième, différent des deux premiers : $8$ choix.

$26\times25\times10\times9\times8=650\times720$

✅ Il y a $468\,000$ codes.

On passe au complémentaire. Les codes sans aucun $0$ utilisent $9$ chiffres possibles pour chacune des $3$ positions : $26^2\times9^3=676\times729=492\,804$.

Le nombre de codes contenant au moins un $0$ est donc $676\,000-492\,804$.

✅ Il y a $183\,196$ codes.

On peut aussi écrire : $26^2\times\left(10^3-9^3\right)=676\times271$.

Trois chiffres strictement croissants sont trois chiffres distincts rangés dans l'ordre croissant. Il suffit donc de choisir l'ensemble des $3$ chiffres : son ordre est alors imposé.

Choix des chiffres : $\dbinom{10}3=120$. Lettres quelconques : $26^2=676$. $676\times120$.

✅ Il y a $81\,120$ codes.

Les $676\,000$ codes sont équiprobables (choix au hasard).

Chiffres distincts : $26^2\times10\times9\times8=676\times720$ codes.

✅ $P=\dfrac{676\times720}{676\times1\,000}=\dfrac{720}{1\,000}=0{,}72$

Chiffres strictement croissants : $676\times120$ codes.

✅ $P=\dfrac{120}{1\,000}=0{,}12$

Les lettres ne jouent aucun rôle dans ces deux probabilités : elles se simplifient.

from itertools import product

distincts = 0
croissants = 0
avec_zero = 0
for c in product(range(10), repeat=3):
    if len(set(c)) == 3:
        distincts = distincts + 1
    if c[0] < c[1] and c[1] < c[2]:
        croissants = croissants + 1
    if 0 in c:
        avec_zero = avec_zero + 1

Le script parcourt les $10^3=1\,000$ triplets de chiffres.

✅ Il donne $720$, $120$ et $271$.

On retrouve :

• $10\times9\times8=720$ (question 2) ;
• $\dbinom{10}3=120$ (question 4) ;
• $10^3-9^3=271$ (question 3).

Multipliés par $26^2$ pour les lettres : $183\,196=676\times271$ et $81\,120=676\times120$.

• Q1 : choix successifs avec répétitions, principe multiplicatif.

• Q2 : les cinq choix successifs sont justifiés ($25$, $9$, $8$ par « distinct »).

• Q3 : complémentaire correctement défini (« aucun $0$ »), résultat en $26^2\times\left(10^3-9^3\right)$.

• Q4 : idée « choisir l'ensemble, l'ordre est imposé » expliquée, $\dbinom{10}3$ utilisé.

• Q5 : équiprobabilité justifiée, simplification par les lettres, valeurs $0{,}72$ et $0{,}12$.

• Q6 : le script est correct et ses résultats sont reliés aux formules.