Fiche 1 : calculer des intégrales et utiliser leurs propriétés

Méthode

Toutes ces fonctions sont continues sur l'intervalle des bornes. On utilise $\displaystyle\int_a^bf=\Big[F(x)\Big]_a^b$.

Question 1

Une primitive est $x^3-x^2+x$.

✅ $=6$

Question 2

$\displaystyle\int_1^e\frac{dx}x=\Big[\ln x\Big]_1^e=\ln e-\ln1$

✅ $=1$

Question 3

Une primitive de $e^{2x}$ est $\dfrac{e^{2x}}2$.

$\displaystyle\int_0^1e^{2x}dx=\left[\frac{e^{2x}}2\right]_0^1$

✅ $=\dfrac{e^2-1}2$

Question 4

$\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1$

✅ $=2$

Question 5

Une primitive de $\cos2x$ est $\dfrac{\sin(2x)}2$.

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos2x\,dx=\left[\frac{\sin(2x)}2\right]_0^{\pi/2}=\frac{\sin\pi}2-0$

✅ $=0$

Question 6

Une primitive de $\dfrac1{\sqrt x}$ est $2\sqrt x$.

$\displaystyle\int_1^4\frac{dx}{\sqrt x}=\Big[2\sqrt x\Big]_1^4=4-2$

✅ $=2$

Question 1

Forme $\dfrac{u'}u$ avec $u(x)=x^2+1>0$.

$\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx=\Big[\ln\left(x^2+1\right)\Big]_0^1=\ln2-\ln1$

✅ $=\ln2$

Question 2

$xe^{x^2}=\dfrac12u'e^u$ avec $u(x)=x^2$.

$\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}dx=\left[\frac12e^{x^2}\right]_0^1$

✅ $=\dfrac{e-1}2$

Question 3

$x\left(x^2+1\right)^3=\dfrac12u'u^3$ avec $u(x)=x^2+1$. Une primitive est $\dfrac12\times\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}4=\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}8$.

$\displaystyle\int_0^1=\left[\frac{\left(x^2+1\right)^4}8\right]_0^1=\frac{16-1}8$

✅ $=\dfrac{15}8$

Question 4

$\sin x\cos x=u'u$ avec $u(x)=\sin x$.

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\left[\frac12\sin^2x\right]_0^{\pi/2}=\frac12-0$

✅ $=\dfrac12$

Question 5

$\dfrac{\ln x}x=u'u$ avec $u(x)=\ln x$, sur $[1\,;e]$.

$\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}x\,dx=\left[\frac12(\ln x)^2\right]_1^e=\frac12-0$

✅ $=\dfrac12$

Question 6

Forme $\dfrac{u'}u$ avec $u(x)=e^x+1>0$.

$\displaystyle\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}dx=\Big[\ln\left(e^x+1\right)\Big]_0^1=\ln(e+1)-\ln2$

✅ $=\ln\dfrac{e+1}2$

Question 1

D'après la relation de Chasles :

$\displaystyle\int_0^5f=\int_0^2f+\int_2^5f=3+4$

✅ $=7$

Question 2

Par linéarité de l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^2(2f-3g)=2\int_0^2f-3\int_0^2g=2\times3-3\times(-1)=6+3$

✅ $=9$

Question 3

En inversant les bornes : $\displaystyle\int_5^2f=-\int_2^5f$

✅ $=-4$

Question 4

Par linéarité : $\displaystyle\int_0^2(f+g)=3+(-1)$

✅ $=2$

Question 1

Pour tout $x\in[0\,;1]$, $x^2\ge0$, donc $e^{x^2}\ge e^0=1$. Par croissance de l'intégrale (bornes $0\le1$) :

✅ $\displaystyle\int_0^1e^{x^2}dx\ge1$

Question 2

Pour $x\in[0\,;1]$, $0\le x^2\le1$. Donc $-1\le-x^2\le0$. Donc $e^{-1}\le e^{-x^2}\le1$. D'après l'inégalité de la moyenne sur $[0\,;1]$ (longueur $1$) :

$e^{-1}\times1\le\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\le1\times1$

✅ $e^{-1}\le\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\le1$

Question 3

Pour $x\in[1\,;2]$, $\dfrac12\le\dfrac1x\le1$. Sur $[1\,;2]$ (longueur $1$) :

✅ $\dfrac12\le\displaystyle\int_1^2\frac1x\,dx\le1$

Vérification : $\displaystyle\int_1^2\frac1x\,dx=\ln2\approx0{,}693$. Ce nombre appartient bien à $[0{,}5\,;1]$. ✓

Méthode

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est $\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$.

Question 1

$\mu=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=\dfrac13\times9$

✅ $\mu=3$

Question 2

$\mu=\dfrac1\pi\Big[-\cos x\Big]_0^\pi=\dfrac1\pi\times2$

✅ $\mu=\dfrac2\pi\approx0{,}64$

Question 3

$\mu=\dfrac1{\ln2}\Big[e^x\Big]_0^{\ln2}=\dfrac{2-1}{\ln2}$

✅ $\mu=\dfrac1{\ln2}\approx1{,}44$

Question 4

$\mu=\dfrac1{e-1}\Big[\ln x\Big]_1^e$

✅ $\mu=\dfrac1{e-1}\approx0{,}58$

Encadrement de $f$

Pour $x\in[0\,;1]$, $0\le x^2\le1$. Donc $1\le1+x^2\le2$. La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Donc $\dfrac12\le\dfrac1{1+x^2}\le1$.

Encadrement de l'intégrale

D'après l'inégalité de la moyenne sur $[0\,;1]$ (longueur $1$) :

✅ $\dfrac12\le\displaystyle\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx\le1$

Remarque : la valeur exacte est $\dfrac\pi4\approx0{,}785$. Elle est bien dans cet encadrement (on la calculera avec la fonction arctangente, hors programme).

Question 1

$\displaystyle\int_{-1}^1x^3dx=\left[\frac{x^4}4\right]_{-1}^1=\frac14-\frac14$

✅ $=0$

$\displaystyle\int_{-1}^1x^2dx=\left[\frac{x^3}3\right]_{-1}^1=\frac13+\frac13$

✅ $=\dfrac23$

Question 2

Soit $g(x)=F(-x)-F(x)$, dérivable sur $[-a\,;a]$. $g'(x)=-F'(-x)-F'(x)=-f(-x)-f(x)$. Comme $f$ est impaire, $f(-x)=-f(x)$. Donc $g'(x)=f(x)-f(x)=0$. $g$ est constante.

Comme $g(0)=F(0)-F(0)=0$, $g$ est nulle. Donc $F(-x)=F(x)$ pour tout $x$.

✅ $\displaystyle\int_{-a}^af=F(a)-F(-a)=0$

Question 3

Soit $h(x)=F(x)+F(-x)$. $h'(x)=F'(x)-F'(-x)=f(x)-f(-x)=0$, car $f$ est paire. $h$ est constante, égale à $h(0)=2F(0)$. Donc $F(-a)=2F(0)-F(a)$.

Alors $\displaystyle\int_{-a}^af=F(a)-F(-a)=2F(a)-2F(0)$.

✅ $\displaystyle\int_{-a}^af=2\int_0^af$

Retenir : l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle. Celle d'une fonction paire vaut le double de l'intégrale sur la moitié positive.

Question 1

$F(x)=\Big[\ln t\Big]_1^x=\ln x-\ln1$

✅ $F(x)=\ln x$

Et $F'(x)=\dfrac1x$ ✓

Question 2

$G(x)=\Big[-e^{-t}\Big]_0^x=-e^{-x}+1$

✅ $G(x)=1-e^{-x}$

Et $G'(x)=e^{-x}$ ✓

Question 3

Une primitive de $te^{t^2}$ est $\dfrac12e^{t^2}$. $H(x)=\left[\dfrac12e^{t^2}\right]_0^x$

✅ $H(x)=\dfrac{e^{x^2}-1}2$

Et $H'(x)=\dfrac12\times2xe^{x^2}=xe^{x^2}$ ✓

Dans les trois cas, on retrouve le théorème : $x\mapsto\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Question 1

$\Phi(x)=\Big[\ln t\Big]_x^{2x}=\ln(2x)-\ln x=\ln2+\ln x-\ln x$

✅ $\Phi(x)=\ln2$

La fonction $\Phi$ est constante sur $]0\,;+\infty[$.

Question 2

$\Psi(x)=\Big[-e^{-t}\Big]_0^{x^2}=-e^{-x^2}+1$

✅ $\Psi(x)=1-e^{-x^2}$

Cette fonction est dérivable sur $\R$ :

✅ $\Psi'(x)=2xe^{-x^2}$

On retrouve la dérivation d'une composée : si $G(y)=\displaystyle\int_0^ye^{-t}\,dt$, alors $\Psi(x)=G\left(x^2\right)$. Donc $\Psi'(x)=2x\times G'\left(x^2\right)=2xe^{-x^2}$.

Affirmation 1

Contre-exemple : $f(x)=x-\dfrac12$ sur $[0\,;1]$. $\displaystyle\int_0^1f=0\ge0$, mais $f(0)=-\dfrac12<0$.

❌ Faux.

Affirmation 2

C'est une propriété de l'intégrale d'une fonction continue et positive.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $f=g=1$ sur $[0\,;2]$. $\displaystyle\int fg=2$ et $\left(\int f\right)\left(\int g\right)=2\times2=4$.

❌ Faux.

Affirmation 4

C'est la linéarité de l'intégrale.

✅ Vrai.

Affirmation 5

On a $-|f|\le f\le|f|$. Donc $-\displaystyle\int|f|\le\int f\le\int|f|$ par croissance de l'intégrale.

✅ Vrai.

Affirmation 6

Sur $[0\,;1]$, $x^2\le x$. Par croissance de l'intégrale : $\displaystyle\int_0^1x^2dx\le\int_0^1x\,dx$, c'est-à-dire $\dfrac13\le\dfrac12$.

✅ Vrai.