Fiche 4 : fonctions solutions et démonstrations classiques

Question 1

$a=-1$, $b=2$, $-\dfrac ba=2$. Solutions : $y(x)=Ce^{-x}+2$. $f(0)=C+2=0$, donc $C=-2$.

✅ $f(x)=2-2e^{-x}$

Question 2

$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=2e^{-x}>0$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $\R$.

En $+\infty$, $e^{-x}\to0$.

✅ $\lim_{x\to+\infty}f=2$

La droite $y=2$ est asymptote horizontale, et $f(x)<2$ pour tout $x$.

En $-\infty$, $-x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$.

✅ $\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$

Question 3

$f''(x)=-2e^{-x}<0$

✅ $f$ est concave sur $\R$.

La tangente en $0$ a pour équation $y=f(0)+f'(0)x=0+2x$.

✅ $y=2x$

Question 4

Comme $f$ est concave, sa courbe est en dessous de sa tangente. $f(x)\le2x$ pour tout $x$, soit $2-2e^{-x}\le2x$. Donc $e^{-x}\ge1-x$.

✅ Pour tout réel $x$, $e^{-x}\ge1-x$.

Solution particulière

$y_0'=p$ et $y_0-x=(p-1)x+q$. L'égalité $y_0'=y_0-x$ pour tout $x$ impose $p-1=0$ et $p=q$, donc $p=q=1$.

✅ $y_0(x)=x+1$

La fonction $f$

Les solutions de $y'=y$ sont $Ce^x$. Donc les solutions sont $y(x)=Ce^x+x+1$. $f(0)=C+1=0$, donc $C=-1$.

✅ $f(x)=x+1-e^x$

Étude

$f'(x)=1-e^x$. Positif si $x<0$, négatif si $x>0$ (car $e^x>1\iff x>0$). Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$. Elle admet un maximum en $0$ : $f(0)=0$.

En $-\infty$ : $f(x)-(x+1)=-e^x\to0$. La droite $y=x+1$ est asymptote oblique à la courbe en $-\infty$.

En $+\infty$ : $f(x)=-e^x\left(1-(x+1)e^{-x}\right)$. Avec $(x+1)e^{-x}\to0$ (croissances comparées), $f(x)\to-\infty$.

L'inégalité

Le maximum de $f$ est $0$ : $f(x)\le0$ pour tout $x$. Soit $x+1-e^x\le0$.

✅ $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$.

Question 1

L'équation s'écrit $y'=-y+x$. Avec $y_0(x)=px+q$ : $p=-px-q+x$, soit $(1-p)x-q-p=0$ pour tout $x$. Donc $p=1$ et $q=-p=-1$.

✅ $y_0(x)=x-1$

Les solutions de $y'=-y$ sont $Ce^{-x}$. Donc $y(x)=Ce^{-x}+x-1$. $f(0)=C-1=1$, donc $C=2$.

✅ $f(x)=2e^{-x}+x-1$

Question 2

$f'(x)=-2e^{-x}+1$. $f'(x)>0\iff e^{-x}<\dfrac12\iff-x<-\ln2\iff x>\ln2$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\ln2]$ et strictement croissante sur $[\ln2\,;+\infty[$.

Son minimum est $f(\ln2)=2\times\dfrac12+\ln2-1$.

✅ $f(\ln2)=\ln2\approx0{,}69$

En $-\infty$ : $2e^{-x}\to+\infty$ et $x-1\to-\infty$. On écrit $f(x)=e^{-x}\left(2+(x-1)e^x\right)$. Avec $(x-1)e^x\to0$ (croissances comparées) :

✅ $\lim_{x\to-\infty}f=+\infty$

En $+\infty$ : $2e^{-x}\to0$ et $x-1\to+\infty$.

✅ $\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$

Question 3

$f(x)-(x-1)=2e^{-x}\to0$ quand $x\to+\infty$.

✅ La droite $y=x-1$ est asymptote oblique à la courbe en $+\infty$.

Comme $2e^{-x}>0$, la courbe est au-dessus de cette droite sur $\R$.

Question 4

Le minimum de $f$ sur $\R$ est $\ln2>0$.

✅ Donc $f(x)>0$ pour tout réel $x$.

Question 1

$F$ est dérivable sur $\R$ comme produit. $F'(x)=-2e^{-x}+(2x+3)e^{-x}=(2x+1)e^{-x}=f(x)$.

✅ $F$ est une primitive de $f$.

Question 2

Les primitives de $f$ sont $F(x)+C$. $G(0)=F(0)+C=-3+C=0$, donc $C=3$.

✅ $G(x)=3-(2x+3)e^{-x}$

Question 3

$G'=f$ et $e^{-x}>0$. Donc $G'(x)$ est du signe de $2x+1$. $G'<0$ sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right[$ et $G'>0$ sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$.

✅ $G$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right]$ et strictement croissante sur $\left[-\dfrac12\,;+\infty\right[$.

En $+\infty$, par croissances comparées, $(2x+3)e^{-x}\to0$.

✅ $\lim G=3$

La droite $y=3$ est asymptote horizontale.

Question 1

$g$ est dérivable sur $\R$ comme produit.

(car $f'=f$).

Donc $g$ est constante, égale à $g(0)=f(0)^2=1$. Ainsi $f(x)f(-x)=1$ pour tout $x$.

✅ $f(x)\neq0$ pour tout $x$.

Question 2

Comme $f'=f$, le théorème sur $y'=ay$ avec $a=1$ donne $f(x)=Ce^x$. $f(0)=C=1$.

✅ Donc $f(x)=e^x$.

(C'est l'unicité de la fonction exponentielle.)

Question 3

Soit $y$ fixé, et $h(x)=\dfrac{f(x+y)}{f(y)}$. ($f(y)\neq0$ d'après la question 1.)

$h$ est dérivable et $h'(x)=\dfrac{f'(x+y)}{f(y)}=\dfrac{f(x+y)}{f(y)}=h(x)$. De plus $h(0)=\dfrac{f(y)}{f(y)}=1$.

D'après l'unicité (question 2), $h=f$. Donc $\dfrac{f(x+y)}{f(y)}=f(x)$.

✅ $f(x+y)=f(x)\,f(y)$

On retrouve la propriété fondamentale : $e^{x+y}=e^x\,e^y$.

Question 1

def euler(h, n):
    y = 1
    for k in range(n):
        y = y + h*(-y)
    return y

Comme $y_{k+1}=y_k(1-h)$, la suite $(y_k)$ est géométrique de raison $1-h$.

✅ $y_n=(1-h)^n$

Question 2

Pour $h=0{,}1$ et $n=10$ : $y_{10}=0{,}9^{10}\approx0{,}3487$.

Pour $h=0{,}01$ et $n=100$ : $y_{100}=0{,}99^{100}\approx0{,}3660$.

Ces deux valeurs approchent $y(1)=e^{-1}\approx0{,}3679$. L'écart est d'environ $0{,}019$ pour $h=0{,}1$ et $0{,}0019$ pour $h=0{,}01$.

✅ L'erreur est divisée par $10$ quand le pas est divisé par $10$ : c'est la méthode d'Euler, d'ordre $1$.

Affirmation 1

Pour $y(x)=e^x-x$ : $y'(x)=e^x-1$ et $y(x)+x=e^x$. Ces deux expressions diffèrent de $1$ pour tout $x$, donc $y$ n'est pas solution. (La fonction $e^x-x-1$ est, elle, solution de cette équation.)

❌ Faux.

Affirmation 2

Les solutions sont $Ce^{-x}+2$. Elles tendent vers $2$ quand $x\to+\infty$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Les solutions de $y'=y$ sont $Ce^x$. Si $y(0)=0$, alors $C=0$ et $y$ est nulle : $y(1)=0\neq1$.

❌ Faux.

Affirmation 4

$f'(x_0)=af(x_0)+b=0$ donne $f(x_0)=-\dfrac ba$.

✅ Vrai.