Fiche 3 : l'équation y' = ay + f et la modélisation

Solution particulière

$y_0(x)=px+q$ donne $y_0'(x)=p$. $y_0$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout $x$ : $p=px+q+2x$, c'est-à-dire $(p+2)x+q-p=0$.

Cela équivaut à $p+2=0$ et $q-p=0$. Donc $p=-2$ et $q=-2$.

✅ $y_0(x)=-2x-2$

Vérification : $y_0'=-2$ et $y_0+2x=-2x-2+2x=-2$ ✓

Solutions

Les solutions de $y'=y$ sont $Ce^x$.

✅ $y(x)=Ce^x-2x-2$, $C\in\R$

Condition initiale

$y(0)=C-2=0$, donc $C=2$.

✅ $y(x)=2e^x-2x-2$

Solution particulière

On cherche $y_0(x)=px+q$. $y_0'=p$ et $2y_0+3x=(2p+3)x+2q$.

L'égalité pour tout $x$ impose $2p+3=0$ et $p=2q$, donc $p=-\dfrac32$ et $q=-\dfrac34$.

✅ $y_0(x)=-\dfrac{3x}2-\dfrac34$

Vérification : $y_0'=-\dfrac32$ et $2y_0+3x=-3x-\dfrac32+3x=-\dfrac32$ ✓

Solutions

Les solutions de $y'=2y$ sont $Ce^{2x}$.

✅ $y(x)=Ce^{2x}-\dfrac{3x}2-\dfrac34$, $C\in\R$

Condition initiale

$y(0)=1$ donne $C-\dfrac34=1$, soit $C=\dfrac74$.

✅ $y(x)=\dfrac74e^{2x}-\dfrac{3x}2-\dfrac34$

Question (a)

L'équation s'écrit $y'=-y+e^{-x}$, avec $a=-1$. Le second membre $e^{-x}$ a le même exposant que les solutions de $y'=-y$ : c'est un cas de résonance.

On cherche $y_0(x)=cxe^{-x}$. $y_0'(x)=ce^{-x}-cxe^{-x}$, donc $y_0'+y_0=ce^{-x}$. On veut $ce^{-x}=e^{-x}$, donc $c=1$.

✅ $y_0(x)=xe^{-x}$

Les solutions de $y'=-y$ sont $Ce^{-x}$.

✅ $y(x)=(x+C)e^{-x}$, $C\in\R$

Question (b)

L'équation s'écrit $y'=2y+e^x$. Le second membre $e^x$ n'a pas le même exposant que $e^{2x}$. On cherche $y_0(x)=ce^x$.

$y_0'-2y_0=ce^x-2ce^x=-ce^x$. On veut $-ce^x=e^x$, donc $c=-1$.

✅ $y_0(x)=-e^x$

Les solutions de $y'=2y$ sont $Ce^{2x}$.

✅ $y(x)=Ce^{2x}-e^x$, $C\in\R$

La condition $y(0)=0$ donne $C-1=0$, soit $C=1$.

✅ $y(x)=e^{2x}-e^x$

Solution particulière

$y_0(x)=\alpha\cos x+\beta\sin x$ donne $y_0'(x)=-\alpha\sin x+\beta\cos x$.

$y_0'+2y_0=(-\alpha+2\beta)\sin x+(\beta+2\alpha)\cos x$

On veut cette expression égale à $\cos x$ pour tout $x$. C'est réalisé si :

$-\alpha+2\beta=0$

$2\alpha+\beta=1$

Alors $\alpha=2\beta$ et $4\beta+\beta=1$. Donc $\beta=\dfrac15$ et $\alpha=\dfrac25$.

✅ $y_0(x)=\dfrac{2\cos x+\sin x}5$

Solutions

L'équation s'écrit $y'=-2y+\cos x$. Les solutions de $y'=-2y$ sont $Ce^{-2x}$.

✅ $y(x)=Ce^{-2x}+\dfrac{2\cos x+\sin x}5$, $C\in\R$

Question 1

$T'=-0{,}1\,T+2$, avec $a=-0{,}1$ et $b=2$. Donc $-\dfrac ba=20$.

Solutions : $T(t)=Ce^{-0{,}1t}+20$. $T(0)=C+20=90$, donc $C=70$.

✅ $T(t)=20+70e^{-0{,}1t}$

Question 2

$T(10)=20+70e^{-1}$

✅ $T(10)\approx45{,}75\ °\mathrm C$

Comme $-0{,}1<0$, $e^{-0{,}1t}\to0$.

✅ $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)=20$

À long terme, le café atteint la température de la pièce. La fonction $T$ est décroissante : $T'(t)=-7e^{-0{,}1t}<0$.

Question 3

$T(t)=40\iff70e^{-0{,}1t}=20\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac27\iff-0{,}1t=\ln\dfrac27\iff t=10\ln\dfrac72$

✅ Le café atteint $40\ °\mathrm C$ au bout de $10\ln3{,}5\approx12{,}5$ minutes.

Question 1

Les solutions de $N'=-0{,}05\,N$ sont $N(t)=Ce^{-0{,}05t}$. $N(0)=C=N_0$.

✅ $N(t)=N_0\,e^{-0{,}05t}$

Question 2

$N(t)=\dfrac{N_0}2\iff e^{-0{,}05t}=\dfrac12\iff-0{,}05t=-\ln2\iff t=\dfrac{\ln2}{0{,}05}$

✅ $t_{1/2}=20\ln2\approx13{,}9$ ans (indépendante de $N_0$)

Question 3

$N(t)=0{,}1\,N_0\iff e^{-0{,}05t}=0{,}1\iff t=\dfrac{\ln10}{0{,}05}=20\ln10$

✅ Il ne reste que $10\,\%$ des noyaux au bout d'environ $46$ ans.

Question 1

$v'=-0{,}5\,v+10$, avec $a=-0{,}5$ et $b=10$. Donc $-\dfrac ba=20$.

Solutions : $v(t)=Ce^{-0{,}5t}+20$. $v(0)=C+20=0$, donc $C=-20$.

✅ $v(t)=20\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$

Question 2

$e^{-0{,}5t}\to0$ quand $t\to+\infty$.

✅ La vitesse limite est $20$ m/s.

Elle est atteinte quand l'accélération $v'$ s'annule ($10=0{,}5\,v$).

Question 3

$90\,\%$ de la vitesse limite vaut $18$ m/s.

$v(t)=18\iff1-e^{-0{,}5t}=0{,}9\iff e^{-0{,}5t}=0{,}1\iff t=2\ln10$

✅ L'objet atteint $18$ m/s au bout de $2\ln10\approx4{,}6$ s.

Question 1

$a=0{,}05$ et $b=-2$. La solution constante est $-\dfrac ba=40$.

✅ $P(t)=40+Ce^{0{,}05t}$

Question 2

Si $P(0)=50$ : $C=10$, $P(t)=40+10e^{0{,}05t}$. Comme $0{,}05>0$, $P(t)\to+\infty$.

✅ La population croît indéfiniment dans le modèle.

Si $P(0)=30$ : $C=-10$, $P(t)=40-10e^{0{,}05t}$, strictement décroissante. $P(t)=0\iff e^{0{,}05t}=4\iff t=20\ln4\approx27{,}7$.

✅ La population s'éteint au bout d'environ $27{,}7$ ans.

Interprétation : l'équilibre $40$ (milliers) est instable. Au-dessus, la population explose ; en dessous, elle disparaît à cause de la pêche.

Question 1

$u'=\dfrac{6-u}2=-0{,}5\,u+3$, avec $a=-0{,}5$ et $b=3$. Donc $-\dfrac ba=6$.

Solutions : $u(t)=Ce^{-t/2}+6$. $u(0)=C+6=0$, donc $C=-6$.

✅ $u(t)=6\left(1-e^{-t/2}\right)$

Question 2

$u(2)=6\left(1-e^{-1}\right)$

✅ $u(2)\approx3{,}79$ V

Comme $e^{-t/2}\to0$ :

✅ $\lim u=6$ V

Le condensateur se charge jusqu'à la tension de la source.

Question 3

$u(t)=5\iff6e^{-t/2}=1\iff e^{-t/2}=\dfrac16\iff t=2\ln6$

✅ La tension atteint $5$ V au bout de $2\ln6\approx3{,}6$ s.

Les constantes

$y(0)=A=1$.

$y'(x)=-2A\sin2x+2B\cos2x$. $y'(0)=2B=2$, donc $B=1$.

✅ $y(x)=\cos2x+\sin2x$

La forme $R\cos(2x-\varphi)$

D'après la formule d'addition : $\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}2(\cos2x+\sin2x)$, donc $\cos2x+\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)$.

✅ $y(x)=\sqrt2\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)$

C'est une oscillation d'amplitude $\sqrt2$ et de période $\pi$.