Fiche 2 : les équations y' = ay et y' = ay + b

Méthode

Les solutions de $y'=ay$ sur $\R$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$, avec $C\in\R$.

Question 1

$a=3$.

✅ $y(x)=Ce^{3x}$, $C\in\R$

Question 2

$a=-2$.

✅ $y(x)=Ce^{-2x}$, $C\in\R$

Question 3

$2y'+5y=0$ équivaut à $y'=-\dfrac52y$. Donc $a=-\dfrac52$.

✅ $y(x)=Ce^{-5x/2}$, $C\in\R$

Question 4

$y'=0$ correspond à $a=0$.

✅ $y(x)=C$ : les fonctions constantes.

Question 1

Les solutions sont $y(x)=Ce^{2x}$. $y(0)=C=3$.

✅ $y(x)=3e^{2x}$

Question 2

Les solutions sont $y(x)=Ce^{-x}$. $y(1)=Ce^{-1}=2$, donc $C=2e$. $y(x)=2e\times e^{-x}$.

✅ $y(x)=2e^{1-x}$

Question 3

Les solutions sont $y(x)=Ce^{x/2}$. $y(2)=Ce=1$, donc $C=e^{-1}$.

✅ $y(x)=e^{x/2-1}$

Méthode

Pour $a\neq0$, les solutions de $y'=ay+b$ sont $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$, avec $C\in\R$.

Question 1

$a=2$, $b=6$, $-\dfrac ba=-3$.

✅ $y(x)=Ce^{2x}-3$

Question 2

$a=-3$, $b=9$, $-\dfrac ba=3$.

✅ $y(x)=Ce^{-3x}+3$

Question 3

$y'+y=4$ équivaut à $y'=-y+4$. $a=-1$, $b=4$, $-\dfrac ba=4$.

✅ $y(x)=Ce^{-x}+4$

Question 4

$2y'-4y=8$ équivaut à $y'=2y+4$. $a=2$, $b=4$, $-\dfrac ba=-2$.

✅ $y(x)=Ce^{2x}-2$

Question 1

$a=-2$, $b=4$, $-\dfrac ba=2$. Solutions : $y(x)=Ce^{-2x}+2$. $y(0)=C+2=5$, donc $C=3$.

✅ $y(x)=3e^{-2x}+2$

Question 2

$a=0{,}5$, $b=-1$, $-\dfrac ba=2$. Solutions : $y(x)=Ce^{x/2}+2$. $y(0)=C+2=0$, donc $C=-2$.

✅ $y(x)=2-2e^{x/2}$

Vérification : $y'(x)=-e^{x/2}$ et $0{,}5\,y(x)-1=1-e^{x/2}-1=-e^{x/2}$ ✓

Question 3

$y'+3y=6$ équivaut à $y'=-3y+6$. $a=-3$, $b=6$, $-\dfrac ba=2$. Solutions : $y(x)=Ce^{-3x}+2$. $y(1)=Ce^{-3}+2=0$, donc $C=-2e^3$. $y(x)=2-2e^3e^{-3x}$.

✅ $y(x)=2-2e^{3-3x}$

$f'(x)=6e^{2x}$.

On cherche $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ :

En identifiant : $3a=6$ et $-a+b=0$, donc $a=2$ et $b=2$.

✅ La fonction $f$ est solution de $y'=2y+2$.

Vérification : $2f(x)+2=6e^{2x}-2+2=6e^{2x}=f'(x)$ ✓

Question 1

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme produit.

car $y'=ay$.

Donc $g$ est constante sur $\R$ : il existe $C\in\R$ tel que $y(x)e^{-ax}=C$ pour tout $x$.

✅ $y(x)=Ce^{ax}$

Question 2

Existence : la fonction exponentielle vérifie $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$.

Unicité : si $f'=f$ et $f(0)=1$, la question 1 avec $a=1$ donne $f(x)=Ce^x$. Alors $f(0)=C=1$, donc $f(x)=e^x$.

✅ L'unique solution est l'exponentielle.

Question 3

D'après la question 1, $y(x)=Ce^{ax}$. Si $y(x_0)=0$ pour un $x_0$, alors $Ce^{ax_0}=0$. Donc $C=0$ (une exponentielle ne s'annule pas). Alors $y(x)=0$ pour tout $x$.

✅ Une solution de $y'=ay$ est soit identiquement nulle, soit jamais nulle.

Équation $(E_1)$

$a=-2$, $b=4$. La solution constante est $-\dfrac ba=2$ (car $-2\times2+4=0$). Solutions : $y(x)=2+Ce^{-2x}$.

Comme $-2<0$, $e^{-2x}\to0$ quand $x\to+\infty$.

✅ Toutes les solutions tendent vers $2$ : l'équilibre est stable.

Équation $(E_2)$

$a=2$, $b=4$. La solution constante est $-\dfrac ba=-2$. Solutions : $y(x)=-2+Ce^{2x}$.

Comme $2>0$, $e^{2x}\to+\infty$.

Si $C>0$, $y(x)\to+\infty$. Si $C<0$, $y(x)\to-\infty$. Si $C=0$, $y$ est constante égale à $-2$.

✅ Les solutions s'éloignent de l'équilibre : il est instable.

La fonction $f$

$a=1$, $b=-2$, la solution constante est $-\dfrac ba=2$. Solutions : $y(x)=Ce^x+2$. $f(0)=C+2=3$, donc $C=1$.

✅ $f(x)=e^x+2$

Vérification : $f'(x)=e^x$ et $f(x)-2=e^x$ ✓

La tangente en $0$

$f(0)=3$. $f'(0)=e^0=1$ (ou $f'(0)=f(0)-2=1$, directement grâce à l'équation). Équation : $y=3+1(x-0)$.

✅ $y=x+3$

Question 1

Soit $y$ une fonction dérivable et $z=y+\dfrac12$. Alors $z'=y'$.

$y$ est solution de $(E)$

$\iff y'=2y+1$

$\iff z'=2\left(z-\dfrac12\right)+1=2z$

$\iff z$ est solution de $(E_0)$. ✓

Question 2

Les solutions de $(E_0)$ sont $z(x)=Ce^{2x}$. Donc les solutions de $(E)$ sont $y(x)=z(x)-\dfrac12$.

✅ $y(x)=Ce^{2x}-\dfrac12$, $C\in\R$

La condition $y(0)=0$ donne $C-\dfrac12=0$, soit $C=\dfrac12$.

✅ $y(x)=\dfrac{e^{2x}-1}2$

Vérification : $y'(x)=e^{2x}$ et $2y(x)+1=e^{2x}-1+1=e^{2x}$ ✓

Affirmation 1

Les solutions sont $Ce^x$. $Ce^0=0$ impose $C=0$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

$(y^2)'=2yy'=2y(ay)=2a\,y^2$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

La fonction constante $-\dfrac ba$ est solution : sa dérivée est nulle et $a\left(-\dfrac ba\right)+b=0$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Les solutions sont $Ce^{2x}$. Si $C<0$, la fonction est décroissante (par exemple $-e^{2x}$).

❌ Faux.

Affirmation 5

Si $y_1$ et $y_2$ sont solutions : $(y_1+y_2)'=a(y_1+y_2)+2b$. Ce qui est différent de $a(y_1+y_2)+b$ si $b\neq0$.

❌ Faux.

Affirmation 6

$(y_1+y_2)'=ay_1+ay_2=a(y_1+y_2)$.

✅ Vrai.