Sinus et cosinus : exercices type bac

Le trapèze $ABMM'$ a deux bases parallèles à l'axe des abscisses :

• $[AB]$, de longueur $AB=2$ ;
• $[M'M]$, de longueur $MM'=2\cos\theta$ (les points $M$ et $M'$ ont pour abscisses $\cos\theta$ et $-\cos\theta$, avec $\cos\theta>0$).

Sa hauteur est la distance entre ces deux bases, c'est-à-dire l'ordonnée commune $\sin\theta$.

✅ $\mathcal A(\theta)=(1+\cos\theta)\sin\theta$

La fonction $\mathcal A$ est dérivable sur $\left]0\,;\dfrac\pi2\right[$ comme produit de $\theta\mapsto1+\cos\theta$ et de $\theta\mapsto\sin\theta$, dérivables sur $\R$.

On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(\theta)=1+\cos\theta$, $u'(\theta)=-\sin\theta$, $v(\theta)=\sin\theta$, $v'(\theta)=\cos\theta$.

Pour tout $\theta$ :

On factorise $2X^2+X-1=(2X-1)(X+1)$ avec $X=\cos\theta$.

✅ $\mathcal A'(\theta)=(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$

Sur $\left]0\,;\dfrac\pi2\right[$, $\cos\theta>0$, donc $\cos\theta+1>0$. Le signe de $\mathcal A'(\theta)$ est celui de $2\cos\theta-1$.

$2\cos\theta-1>0\iff\cos\theta>\dfrac12\iff\theta<\dfrac\pi3$. (Sur $\left]0\,;\dfrac\pi2\right[$, le cosinus est strictement décroissant et $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$.)

Donc $\mathcal A'>0$ sur $\left]0\,;\dfrac\pi3\right[$, $\mathcal A'\left(\dfrac\pi3\right)=0$ et $\mathcal A'<0$ sur $\left]\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi2\right[$.

Tableau de variations. $\mathcal A$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\dfrac\pi3\right]$ (de la limite $0$ en $0$ à $\mathcal A\left(\dfrac\pi3\right)$). Puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi2\right[$ (de $\mathcal A\left(\dfrac\pi3\right)$ à la limite $\mathcal A\left(\dfrac\pi2\right)=1$).

✅ $\mathcal A\left(\dfrac\pi3\right)=\left(1+\dfrac12\right)\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{3\sqrt3}4\approx1{,}30$

D'après le tableau de variations, $\mathcal A$ admet un maximum en $\theta=\dfrac\pi3$, égal à $\dfrac{3\sqrt3}4$.

✅ L'aire du trapèze est maximale pour $\theta=\dfrac\pi3$, c'est-à-dire lorsque $M$ a pour coordonnées $\left(\dfrac12\,;\dfrac{\sqrt3}2\right)$.

✅ Cette aire maximale vaut $\dfrac{3\sqrt3}4\approx1{,}30$ unités d'aire.

• Q1 : les deux bases et la hauteur sont identifiées avec les coordonnées de $M$ et $M'$, la formule de l'aire du trapèze est citée.

• Q2 : dérivabilité justifiée, formule $(uv)'$ citée, utilisation de $\sin^2=1-\cos^2$, factorisation d'un trinôme en $\cos\theta$.

• Q3 : signe justifié ($\cos\theta+1>0$ ; $2\cos\theta-1>0\iff\theta<\dfrac\pi3$), tableau avec la valeur du maximum et le comportement aux bornes.

• Q4 : conclusion en contexte, avec la valeur de $\theta$, la position de $M$ et l'aire.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;\pi]$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x$ :

✅ $f'(x)=1-2\cos x$

$f'(x)>0\iff\cos x<\dfrac12\iff x>\dfrac\pi3$. (Sur $[0\,;\pi]$, le cosinus est strictement décroissant et $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$.)

Donc $f'<0$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi3\right[$, $f'\left(\dfrac\pi3\right)=0$ et $f'>0$ sur $\left]\dfrac\pi3\,;\pi\right]$.

Tableau de variations. $f$ est strictement décroissante sur $\left[0\,;\dfrac\pi3\right]$, de $f(0)=0$ à $f\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac\pi3-2\times\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac\pi3-\sqrt3\approx-0{,}69$. Puis strictement croissante sur $\left[\dfrac\pi3\,;\pi\right]$, de $\dfrac\pi3-\sqrt3$ à $f(\pi)=\pi$.

✅ Le minimum de $f$ est $\dfrac\pi3-\sqrt3$.

La fonction $f'$ est dérivable sur $[0\,;\pi]$ et $f''(x)=2\sin x$. Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x\ge0$, donc $f''(x)\ge0$.

✅ Donc $f$ est convexe sur $[0\,;\pi]$.

Sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

$f(0)=0$ et $f'(0)=1-2\cos0=-1$. La tangente en $0$ a pour équation $y=f(0)+f'(0)(x-0)$.

✅ $T:\ y=-x$

Comme $f$ est convexe sur $[0\,;\pi]$, $\mathcal C$ est au-dessus de $T$ : $f(x)\ge-x$ pour $x\in[0\,;\pi]$.

Sur $\left[0\,;\dfrac\pi3\right]$

$f$ est strictement décroissante et $f(0)=0$. Donc $f(x)<0$ pour $x\in\left]0\,;\dfrac\pi3\right]$, et $f(x)=0$ seulement pour $x=0$.

Sur $\left[\dfrac\pi3\,;\pi\right]$

$f$ est continue et strictement croissante, de $f\left(\dfrac\pi3\right)\approx-0{,}69<0$ à $f(\pi)=\pi>0$.

Le nombre $0$ est strictement compris entre ces valeurs.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]\dfrac\pi3\,;\pi\right[$.

Comme $f(x)=0$ n'a pas d'autre solution sur $\left[0\,;\dfrac\pi3\right]$ que $0$ :

✅ l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $[0\,;\pi]$ : $0$ et $\alpha$.

Encadrement

$f(1{,}8)=1{,}8-2\sin1{,}8\approx-0{,}148<0$

$f(1{,}9)=1{,}9-2\sin1{,}9\approx0{,}007>0$

Comme $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac\pi3\,;\pi\right]$ :

✅ $1{,}8<\alpha<1{,}9$

• Q1 : dérivée, résolution de $\cos x<\dfrac12$ sur $[0\,;\pi]$ avec la décroissance du cosinus, tableau avec valeurs.

• Q2 : $f''$ calculée, signe de $\sin x$ sur $[0\,;\pi]$ justifié.

• Q3 : $f(0)$ et $f'(0)$ calculés avant l'équation, position par convexité.

• Q4 : décomposition en deux intervalles, $x=0$ traité séparément, corollaire du TVI cité avec ses hypothèses, encadrement justifié par deux valeurs.

La fonction $g$ est dérivable sur $[0\,;1]$ comme différence de fonctions dérivables, donc continue. Pour tout $x\in[0\,;1]$ : $g'(x)=-\sin x-1$. Comme $\sin x\ge0$ sur $[0\,;1]$, $g'(x)\le-1<0$.

✅ $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$.

De plus $g(0)=\cos0-0=1>0$. Et $g(1)=\cos1-1\approx-0{,}46<0$ (car $\cos1<1$). Donc $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$, et $\alpha\in\,]0\,;1[$.

Encadrement

$g(0{,}73)=\cos0{,}73-0{,}73\approx0{,}015>0$

$g(0{,}74)=\cos0{,}74-0{,}74\approx-0{,}0015<0$

Comme $g$ est strictement décroissante :

✅ $0{,}73<\alpha<0{,}74$

Soit $P(n)$ : « $0\le u_n\le1$ ».

Initialisation.

$u_0=1$, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k\in\N$ fixé tel que $0\le u_k\le1$ (hypothèse de récurrence).

La fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]\supset[0\,;1]$.

Donc $\cos1\le\cos u_k\le\cos0$, soit $\cos1\le u_{k+1}\le1$.

Comme $1<\dfrac\pi2$, $\cos1>0$.

Donc $0\le u_{k+1}\le1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

✅ $0\le u_n\le1$ pour tout $n\in\N$.

$u_1=\cos1\approx0{,}5403$

$u_2=\cos(0{,}5403)\approx0{,}8576$

$u_3=\cos(0{,}8576)\approx0{,}6543$

On a $u_1<u_0$, puis $u_2>u_1$, puis $u_3<u_2$ : la suite descend, monte, descend.

❌ Elle n'est pas monotone.

C'est normal : la fonction cosinus est décroissante sur $[0\,;1]$, donc les termes alternent de part et d'autre de la solution.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. D'après la question 2, $0\le\ell\le1$ (passage à la limite dans l'encadrement).

La fonction cosinus est continue sur $\R$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=\cos(u_n)$, on obtient $\ell=\cos\ell$. Soit $g(\ell)=\cos\ell-\ell=0$.

Comme $\ell\in[0\,;1]$ et que, d'après la question 1, $\alpha$ est l'unique solution de $g(x)=0$ dans $[0\,;1]$ :

✅ $\ell=\alpha$

from math import cos

u = 1
for n in range(1, 9):
    u = cos(u)
    print(n, u)

Valeurs approchées :

$u_1\approx0{,}5403$ ; $u_2\approx0{,}8576$ ; $u_3\approx0{,}6543$ ; $u_4\approx0{,}7935$

$u_5\approx0{,}7014$ ; $u_6\approx0{,}7640$ ; $u_7\approx0{,}7221$ ; $u_8\approx0{,}7504$

Interprétation : les termes alternent au-dessus et en dessous de $\alpha\approx0{,}739$ en s'en rapprochant. C'est cohérent avec la convergence de $(u_n)$ vers $\alpha$, sans monotonie.

• Q1 : $g'\le-1$ justifié ($\sin x\ge0$ sur $[0\,;1]$), corollaire du TVI cité avec ses hypothèses, encadrement par deux valeurs.

• Q2 : hypothèse de récurrence utilisée, décroissance du cosinus citée avec son intervalle, $\cos1>0$ justifié.

• Q3 : trois termes calculés, non-monotonie justifiée par les comparaisons.

• Q4 : continuité du cosinus, passage à la limite, $\ell$ dans $[0\,;1]$, et unicité invoquée pour conclure $\ell=\alpha$.

• Q5 : script correct et interprétation (alternance autour de la limite).