Fiche 3 : limites, suites et équations avec sin et cos

Méthode

On utilise $\displaystyle\lim_{X\to0}\frac{\sin X}X=1$ (nombre dérivé de $\sin$ en $0$).

Question 1

Pour $x\neq0$ : $\dfrac{\sin(3x)}x=3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}$. Quand $x\to0$, $X=3x\to0$, donc $\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to1$. Par produit :

✅ $\lim=3$

Question 2

Pour $x\neq0$ proche de $0$ :

Les deux quotients tendent vers $1$. Par quotient :

✅ $\lim=\dfrac52$

Question 3

$\dfrac{\cos x-\cos0}{x-0}$ est le taux d'accroissement de $\cos$ en $0$. Il tend vers $\cos'(0)=-\sin0=0$.

✅ $\lim=0$

Question 4

$\dfrac{\sin x}{2x}=\dfrac12\times\dfrac{\sin x}x\to\dfrac12\times1$

✅ $\lim=\dfrac12$

Question 1

Pour $x>0$, $-1\le\sin x\le1$ donne $-\dfrac1x\le f(x)\le\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes :

✅ $\lim f=0$

Question 2

Pour $x>0$, $g(x)=1+\dfrac{\cos x}x$. Et $-\dfrac1x\le\dfrac{\cos x}x\le\dfrac1x$. Par gendarmes, $\dfrac{\cos x}x\to0$. Par somme :

✅ $\lim g=1$

Question 3

Pour $x>0$, on pose $X=\dfrac1x$. Quand $x\to+\infty$, $X\to0^+$, et $h(x)=\dfrac{\sin X}X\to1$.

✅ $\lim h=1$

Question 4

Pour tout $x$, $-e^{-x}\le e^{-x}\cos x\le e^{-x}$ (car $e^{-x}>0$ et $|\cos x|\le1$). Comme $e^{-x}\to0$, d'après les gendarmes :

✅ $\lim k=0$

Question 5

Pour $x>0$, $|x\sin x|\le x$. Donc $-\dfrac x{x^2+1}\le m(x)\le\dfrac x{x^2+1}$. Or $\dfrac x{x^2+1}=\dfrac{\frac1x}{1+\frac1{x^2}}\to0$. D'après les gendarmes :

✅ $\lim m=0$

Question 6

Pour tout $x$, $\sin x\ge-1$, donc $p(x)\ge x-1$. Comme $x-1\to+\infty$, par comparaison :

✅ $\lim p=+\infty$

Question 1

Soit $g(x)=1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}-\cos x$ sur $[0\,;+\infty[$. $g$ est dérivable et :

Donc $g'(x)\ge0$ d'après l'inégalité admise sur le sinus. $g$ est croissante, avec $g(0)=1-1=0$. Donc $g(x)\ge0$.

✅ $\cos x\le1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}$

Question 2

Pour $x>0$ : $1-\dfrac{x^2}2\le\cos x\le1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}$.

En retranchant $1$ : $-\dfrac{x^2}2\le\cos x-1\le-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}$.

En divisant par $x^2>0$ : $-\dfrac12\le\dfrac{\cos x-1}{x^2}\le-\dfrac12+\dfrac{x^2}{24}$.

La borne de droite tend vers $-\dfrac12$ quand $x\to0^+$. D'après le théorème des gendarmes, $\dfrac{\cos x-1}{x^2}\to-\dfrac12$.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$

La fonction $x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ est paire ($\cos$ est paire et $x^2$ aussi). Donc la limite à gauche est la même.

✅ $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$

Question 1

Pour $n\ge1$, $u_n=\dfrac{\sin\frac1n}{\frac1n}$. Comme $\dfrac1n\to0$, par composition avec $\displaystyle\lim_{X\to0}\dfrac{\sin X}X=1$ :

✅ $\lim u_n=1$

Question 2

Pour $n\ge1$, $v_n=\pi\times\dfrac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}$. Comme $\dfrac\pi n\to0$, $\dfrac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\to1$. Par produit :

✅ $\lim v_n=\pi$

Interprétation : chaque côté d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de rayon $1$ mesure $2\sin\dfrac\pi n$.

Donc $v_n=n\sin\dfrac\pi n$ est la moitié de son périmètre.

Il tend vers la moitié de la circonférence, soit $\pi$.

Question 3

Pour $n\ge1$, $-1\le\sin n\le1$ donne $-\dfrac1n\le w_n\le\dfrac1n$. D'après les gendarmes :

✅ $\lim w_n=0$

Question 4

Pour $n\ge1$, $t_n=\dfrac{1-\cos\frac1n}{\left(\frac1n\right)^2}$. Comme $\dfrac1n\to0$, d'après l'exercice 3 :

✅ $\lim t_n=\dfrac12$

Question 5

Pour $n\ge1$, $s_n=\dfrac1n\times t_n$. Comme $\dfrac1n\to0$ et $t_n\to\dfrac12$, par produit :

✅ $\lim s_n=0$

Question 1

$h$ est dérivable sur $\R$ et $h'(x)=1-\cos x\ge0$. De plus $h'(x)=0\iff\cos x=1\iff x=2k\pi$ ($k\in\mathbb Z$). La dérivée ne s'annule qu'en des points isolés.

Donc $h'>0$ sur chaque intervalle $]2k\pi\,;2(k+1)\pi[$. $h$ est strictement croissante sur chaque intervalle $[2k\pi\,;2(k+1)\pi]$.

✅ Donc $h$ est strictement croissante sur $\R$.

Question 2

Comme $-1\le\sin x\le1$, on a $x-2\le h(x)\le x$.

Quand $x\to+\infty$, $x-2\to+\infty$, donc par comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$

Quand $x\to-\infty$, $x\to-\infty$, donc par comparaison :

✅ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h=-\infty$

Question 3

$h$ est continue et strictement croissante sur $\R$, de $-\infty$ à $+\infty$.

Le nombre $0$ est strictement compris entre ces limites.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

✅ l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$.

Encadrement.

$h(1)=-\sin1\approx-0{,}84<0$

$h(2)=1-\sin2\approx0{,}09>0$

Donc $1<\alpha<2$.

Puis $h(1{,}9)=0{,}9-\sin1{,}9\approx-0{,}046<0$ et $h(2)>0$. Par stricte croissance :

✅ $1{,}9<\alpha<2$

Question 1

from math import sin, pi

def approx(n):
    return n*sin(pi/n)

Valeurs :

approx(10) $\approx3{,}0902$

approx(100) $\approx3{,}14108$

approx(1000) $\approx3{,}141587$

✅ Les valeurs se rapprochent de $\pi\approx3{,}141593$.

Question 2

Pour $n\ge1$, $x=\dfrac\pi n>0$. Donc $\sin x\le x$ et $\sin x\ge x-\dfrac{x^3}6$ (fiche 2, exercice 7).

En multipliant par $n>0$ :

$n\sin\dfrac\pi n\le\pi$

$n\sin\dfrac\pi n\ge\pi-n\times\dfrac{\pi^3}{6n^3}=\pi-\dfrac{\pi^3}{6n^2}$

✅ $0\le\pi-n\sin\dfrac\pi n\le\dfrac{\pi^3}{6n^2}$

Cohérence : pour $n=1\,000$, $\dfrac{\pi^3}{6n^2}\approx5{,}17\times10^{-6}$. L'écart réel est $\pi-3{,}141587\approx5{,}2\times10^{-6}$ : l'encadrement est très précis. Pour $n=100$, la borne vaut $\approx5{,}17\times10^{-4}$. L'écart réel est $\approx5{,}2\times10^{-4}$.